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어디어디 숨었나? - 피보나치수열

자연, 우주 속에 ‘피보나치 수열’ 숨쉬고 있어 "봄이니까 꽃이 피는 게 아니라, 꽃이 피어나니 비로소 봄이라네." 법정스님의 말씀 대로 각종 꽃들이 기지개 를 펴는 봄이 왔다. 신기하게도 자연에는 우리가 알지 못했던 여러 가지 법칙이 존재한다. 그 중에서도 우리 주변에서 살고 있는 여러 꽃들의 꽃잎 수를 세어보면 재미있는 규칙을 발견하게 된다. 그건 바로 우리가 중 학교 수학시간에 어렵게 배웠던 ‘피보나치 수열’이다. 가장 일반적인 피보나치 수열의 예를 들어 설명해보자. 우선 ‘화이트칼라 백합’의 꽃잎 수는 1장, 등대풀(Euphorbia)은 2장, 연령초는 3장, 채송화, 딸기꽃은 5장, 코 스모스, 모란은 8장, 금잔화는 13장, 치커리 21장, 질경이는 34장, 쑥부쟁이는 55장 또는 89장이다. 그리고 대 다수 꽃의 꽃잎 수는 위에 언급된 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 중 하나에 포함된다. 이들 각 꽃잎 수(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89)를 작은 수부터 차례대로 나열해 수열로 만들고 맨 앞에 1을 하나 더 배치하면, 바로 12세기 말 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치(Leonard Fibonacci. 1170~1240) 가 1202년 저술한 ‘산반서(Liberabaci)’에 나오는 ‘피보나치 수열’이 되는 것이다. 피보나치는 어느 날 집에서 기르던 토끼가 새끼를 번식하는 과정을 보면서 다음과 같은 문제에 관심을 갖게 됐다. <가령 한 농장에서 갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 사육됐다고 하자. 새로 난 토끼 1쌍은 두 달 뒤부터 매달 암수 새끼 1쌍을 낳는다면, 1년 동안 토끼는 암수 몇 쌍으로 불어나는가?> 이 문제를 풀어보면, 먼저 토끼가 갓 태어난 새끼 한 쌍으로 시작했기 때문에 1개월 및 2개월 동안은 새끼 1 쌍이 그대로 있고 셋째 달에 암수 새끼 1쌍을 낳았기 때문에 총 암수 2쌍이 된다. 넷째 달에 암수 어미 한 쌍 이 또 암수 1쌍을 낳아 총 3쌍이 되고, 다섯 째 달에는 어미가 또다시 1쌍을 낳고, 새끼도 어른이 되어 1쌍을 분만해 총 5쌍이 된다. 매달 암수 쌍의 수를 수열로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.. 이 되는데 이것이 바로 피보나치 수열인 것이다. 이 수열의 특징은 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3처럼 3항 이상의 수는 바로 전 두 항의 합이란 점이다. 이 수열을 따르 는 예를 자연계에서 더 살펴보자. 해바라기 꽃 가운데 부분에는 씨앗이 촘촘히 박혀 있다. 이 씨앗의 배열을 자세히 보면, 보는 방향에 따라 시계방향과 시계 반대 방향으로 휘감으며 도는 나선을 발견할 수 있다. 이 해 바라기의 나선 수는 대개 21개와 34개, 혹은 34개와 55개다. 즉 해바라기 씨는 피보나치 수열에 따라 씨를 배 열하면서 좁은 공간에 최대한 많은 씨를 담고 있는 것이다. 또한 소나무 주변에 떨어져 있는 솔방울 씨앗의 배열을 살펴보자. 꼭지를 향해 말려들어가는 두 가지 방향 의 나선 모양 씨앗을 보는 방향에 따라 시계 반대방향과 시계방향으로 각각 세어보면 8개와 13개다. 그밖에 줄기에서 잎이 나와 배열되는 방식을 나타내는 잎 차례도 피보나치 수열과 관계 있다. 한편, 피보나치 수열의 또 다른 신기한 점은 앞 항으로 다음 항을 나누면 「1/1=1」, 「2/1=2」, 「3/2=1.5」, 「5/3=1.666」 「8/5=1.6」「13/8=1.1.625」「21/13=1.615」등이 되는데, 이를 계속해 보면 바 로 황금비율 ‘1 : 1.618’에 근접한다는 것이다. 이러한 황금비율은 우리 몸에서도 다양하게 나타난다. △ 팔의 길이를 어깨 폭으로 나눌 경우 △ 사람 키를 발끝에서 배꼽까지의 높이로 나눌 경우 △ 각 손가락 두 번째 뼈마디 길이를 맨 위 첫째 뼈마디 길이로 나눌 경우 △ 손가락 아래 세 번째 뼈마디 길이를 역시 두 번 째 뼈마디 길이로 나누면 이 황금비율에 가깝다. 또 잘 생겼다고 하는 얼굴을 분석해 보면, 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이를 입술 정 중앙에서 코끝까지 길이로 나누면 황금비율이 되고, 또한 두 눈동자 좌우를 연결한 선부터 턱 끝까지 수 직높이를 역시 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이로 나눠도 황금비율의 수가 나온다. 결국 피보나치 수열과 이 수열이 만들어낸 황금비율은 자연 속에 내재된 채 사람들에게 아름다움을 선사하 고 있으며, 자연계는 이 같은 수학적 질서에 맞춰 운행하고 그 속에서 생명을 이어가고 있는 것이다. (글: 서현교 - 과학칼럼니스트) 출처: yeskisti 과학정보포털서비스
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