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빈칸에 적절한 소수를 채우라!

빈칸에 적절한 소수를 채우라_0

 

[풀이]
퍼즐에서 흔히 볼 수 있는 빈칸에 수를 채우는 문제이다. 잘 알려진 문제로는 ‘마방진’이 있다. 이 문제도 마방진의 변형 퍼즐이라고 볼 수 있는데, 보통의 마방진 문제와 다른 점이라면 채워야 하는 숫자가 소수로 제한되어 있다는 점이다. 또, 세 수의 합 역시 소수로 제한되어 있다. 이 조건은 세 수의 합 역시 소수여야 한다는 점은 이 문제를 해결하는 데에 필요한 강력한 조건이다.

 


먼저 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23의 7개의 소수 중 3개를 선택해 더한 값으로 나올 수 있는 경우는 모두 몇 가지가 있을지 생각해 보자. 또 그 합으로 나올 수 있는 값은 모두 몇 가지가 있을까? 주어진 7개의 소수 중에서 3개를 선택해 더한 값을 표로 나타내면 모두 35가지가 있고 다음과 같다.


 

 

 

 빈칸에 적절한 소수를 채우라1

 

 

35가지 경우 중에서 더한 값이 소수인 경우를 찾으면 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59가 있다.

 

 

빈칸에 적절한 소수를 채우라_2

 

 

 

그런데 문제를 살펴보면 가로 2개, 대각선 2개로 3개의 소수를 더해 같은 값이 나오는 경우가 4개는 있어야 한다. 그러므로 세 소수를 더한 값으로 가능한 소수는 41과 47뿐이다.

 

첫 번째로 세 수의 합이 41이 되는 다음 4가지 경우로 빈칸을 채워보자.

 

 

(5, 13, 23)    (5, 17, 19)    (7, 11, 23)    (11, 13, 17)

 

 

각 모서리 빈칸 4개와 가운데 빈칸에 들어가는 수는 2번씩 쓰인 수이므로, 5, 11, 13, 17, 23이 들어가야 하고, 한 번만 쓰인 수인 7과 19는 위와 아래 가운데에 각각 들어가야 한다. 이 조건에 따라 빈칸을 채워보면 다음과 같다.

 

(단, 상하, 좌우 대칭되므로 각 빈칸에 들어가는 숫자가 아래와 똑같지 않더라도 5, 11, 23, 17이 모서리에 있고 세 빈칸의 더한 값이 41을 만족하면 된다.)

 

빈칸에 적절한 소수를 채우라_3

이제 세 수의 합이 47인 경우를 생각해 보자. 다음과 같이 4가지 경우로 빈칸을 채우면 된다. 
          

 

 (5, 19, 23)    (7, 17, 23)    (11, 13, 23)    (11, 17, 19)       

 

    
그런데 이 4가지의 경우로는 빈칸을 채울 수 없다는 걸 쉽게 알 수 있다. 숫자 조합을 살펴보면 위의 4가지에서 23이란 수는 3번 계산에 사용된다.주어진 문제의 제한 조건에서 빈칸에 숫자는 한번씩 쓰여야 하기 때문에, 숫자는 합의 계산에 2번까지 사용될 수 있으나 3번까지는 쓰일 수 없다. 따라서 세 수의 합이 47인 경우는 정답에서 제외된다.

 

결국, 앞서 구한 세 수의 합이 41이 되는 조합이 답이다.

 

 

[정답]

빈칸에 적절한 소수를 채우라_4

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