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모두의 수학

우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

수학 계산, 이보다 더 질서정연할 수는 없다!

시계 계기판

11월 11일 11시 11분!

자동차 계기판이 123,456(Km)!!

 

일상생활을 하다가 의도치 않게 봤더니 바로 이 순간이었다면 기분이 어떨까?

나만 그런지 모르겠지만, 이 순간이 지나기 전에 누군가에게 알려주어 특별한 이 시간을 함께 하였던 적이 있다. 이처럼 특별한 규칙과 질서를 갖는 수를 의도하지 않은 어느 한 순간에 만나게 되면 기분이 좋아지는 듯하다.

  

계산


신기하게도 계산식과 계산결과 모두 규칙성이 아주 강하다.

그런데 어떻게 이러한 계산을 발견할 수 있었을까? 이는 결코 우연한 발견은 아니며, 곱셈(구구단)의 계산 원리에서 패턴을 찾아 만들어진 것이다. 다음의 계산과정을 살펴보자.


계산 1


구구단 9단은 9×□=○◇의 □가 하나씩 증가할 때마다, ◇는 1씩 감소하고, ○는 1씩 증가하는 성질이 있다. 바로 이 계산의 원리를 곱셈의 계산과정에 적용하면 일정한 계산결과 111…111을 만들 수 있게 된다.

이 원리를 이용하면 또 다른 규칙적인 계산도 만들어 낼 수 있다.

 

계산

 

계산 2

이러한 계산규칙에 구구단 아닌 다른 원리를 찾아 적용해 볼 수도 있다.

 

계산


예를 들어, 1111×1111=1234321을 생각해보자. 1111은 1000+100+10+1로 표현할 수 있고 다음과 같이 분배법칙으로 계산할 수 있으며, 이 원리로 규칙적인 계산결과의 패턴 이해가 가능하다.


수학



자릿수

백만

십만

분 계

배 산

법 과

칙 정

1000×1000

1000×100

1000×10

1000×1

100×1

10×1

1×1

 

100×1000

100×100

100×10

10×10

1×10

 

 

 

10×1000

10×100

1×100

 

 

 

 

 

1×1000

 

 

 

개 수

1

2

3

4

3

2

1

소 계

1000000

200000

30000

4000

300

20

1

총 합

100000+200000+30000+4000+300+20+1=1234321

 

이외에도 자로 잰 듯한, 규칙적인 계산들은 많이 존재한다.


계산


계산


계산


그렇다면 이처럼 질서정연한 수학계산은 누가 발견하였을까? 실제 위와 같은 계산 규칙은 자연수의 사칙연산 정도만 할 줄 알면 누구나 규칙을 찾아 패턴을 만들 수 있다. 그러하기에 이러한 계산들은 인터넷 검색에서도 쉽게 찾아볼 수 있으며, 그것을 누가, 언제 발견하였는지는 알려져 있지 않다.

 

하지만 위의 계산처럼 1개의 행으로 이루어진 1차원적 계산 배열이 아닌, 가로×세로 형태와 같은 2차원적 계산 배열에서는 규칙을 찾기가 쉽지 않다. 다음은 1890년 루카스(Edouard Lucas)가 소개한 크기가 3×3인 ‘마법사각형(Magic Square)’이다. 이는 서로 다른 9개의 자연수를 배열하여 어떠한 행과 열 또는 대각선의 수를 모두 더하여도 일정한 합을 얻을 수 있다.

 

마법사각형

 

위의 그림을 보면 숫자가 계속하여 바뀐다. 이 마법사각형 안에 들어갈 수 있는 자연수 배열이 꽤나 많음을 의미한다. 그 원리를 살펴보자.

마법 사각형


가로, 세로 대각선. 그 어느 방향으로 이 값을 더하여도 그 합은 항상 3c 로 일정하다. 따라서 a, b, c 로 표현된 식이 자연수가 되도록 적당하게 a, b, c 값을 잡아주기만 하면 된다. 결국 루카스의 매직사각형은 무수히 많이 만들어 낼 수 있다.

 

가로×세로 형태의 2차원적 배열인 루카스의 마법사각형(Magic Square)보다 한 차원 더 높은 페르마(Pierre de Fermat)의 마법큐브(Magic Cube)도 존재한다.

마법큐브

페르마의 마법큐브(Magic Cube) 지도

(선분 64개 모두 선분의 합이 130으로 같다.)


마법큐브

페르마의 마법큐브(Magic Cube) 지도

(나머지 선분 12개는 성립하지 않는다.)


1640년 페르마는 가로×세로×높이 형태가 4×4×4인 정육면체에 대하여 자연수를 1부터 64까지 어떻게 배열하면 가로, 세로, 높이 그리고 대각선에 대한 합이 일정할까? 라는 문제를 내고 마법의 지도를 완성하고자 노력했다. 마법의 지도를 완성하려면, 총 76개의 선분에 대한 합이 일정해야 하는데, 그는 이중에서 64개의 배열에 성공하였고, 나머지 12개는 실패하였다.

 

오랜 시간이 흘러 1972년.

슈뢰펠(Richard Schroeppel)은 76개의 선분 모두가 그 합이 일정하게 배열될 수 있는 완벽한 마법큐브(Magic Cube)의 지도 완성은 불가능 하다는 것을 수학적으로 증명하였다. 하지만, 76개 중 마법의 지도가 몇 개까지 완성될 수 있는지는 알려져 있지 않다.

 

그러나 2004년.

월터트럼프(Walter Trump)는 페르마의 마법큐브(Magic Cube) 지도보다 8개가 더 성립하는 지도를 발견하기에 이른다.

마법큐브

트럼프의 마법큐브(Magic Cube) 지도

(선분 72개 모두 선분의 합이 130으로 같다.)



마법큐브

트럼프의 마법큐브(Magic Cube) 지도

(여전히 나머지 선분 4개는 성립하지 않는다.)


이렇게 하여 현재까지 알려진 페르마의 마법큐브(Magic Cube) 지도는 72개까지 성립한다. 슈뢰펠(Richard Schroeppel)의 증명으로 76개의 완벽한 마법큐브는 존재하지 않는다. 따라서 이것이 마지막 지도가 될 것인지, 아니면 훗날 누군가의 연구에 의하여 남은 3개가 더 발견될 것인지는 또 기나긴 시간의 기다림이 필요할 것이다.

 

그렇다면, 이들은 왜? 어쩌면 ‘의미 없다.’라고 말할 수도 있는 이러한 규칙을 찾는 것일까?

그것은 아마도 새로운 호기심에 대한 탐험을 갈망하는 인간 본연의 욕구이고 발견의 기쁨일 것이다. 실제로 페르마는 1640년 64개가 성립하는 마법큐브의 지도를 작성하고, 곧바로 동료수학자인 메르센(Marin Mersenne)에게 편지를 보냈다고 한다. 이처럼 수학은 아직까지 학문 그 자체를 탐구하는 순수함을 가지고 있다. 우리가 11월 11일 11시 11분 11초를 마주한 그 순간처럼.

 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.

 

바로가기

수학실험실 No.191. 흥미로운 숫자의 계산 법칙


수학실험실 No.318. 루카스(Lucas)의 마법의 정사각형(Magic Square)

수학실험실 No.319. 페르마(Fermat) & 트럼프(Trump)의 마법의 큐브(Magic Cube)

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