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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

야구 타율, '바보 덧셈’으로 계산한다고?

바보덧셈


이것이 바로 ‘통분’이라는 것의 원리이다. 수학에서 분수의 일반적인 계산은 위와 같은 ‘통분’의 과정을 거쳐 이루어진다. 그렇다면, ‘바보덧셈’으로 불리는 셈법이 적용되는 사례가 우리의 일상에 무엇이 있을까? 다음을 살펴보자.

 

바보덧셈2

 

80(g)의 물에 20(g)의 소금을 넣은 소금물 A와 105(g)의 물에 45(g)의 소금을 넣은 소금물 B가 있다. 두 소금물 A와 B를 섞었을 때, 소금물 (A+B)의 농도는 몇 인가?


바보덧셈3


이와 같이 분수는 그 값의 의미가 무엇인가에 따라서 계산법이 ‘바보덧셈’과 같이 다르게 적용될 수 있다. 더하여 ‘바보덧셈’은 계산뿐만 아니라 그 해석의 방법에도 유의해야 한다. 자칫 잘못된 판단을 내릴 수 있기 때문이다.

다음의 사례를 생각해보자.

 

이승엽, 이대호 두 선수의 2017 프로야구 전반기와 후반기의 타율을 비교해 보았더니, 이승엽 선수가 전반기, 후반기 모두 타율이 높았다. 이 결과로부터 이승엽 선수가 이대호 선수보다 타율이 더 높다고 말할 수 있는가?

 

언뜻 생각하기에는 일정한 두 기간인 전반기, 후반기 모두 이승엽 선수의 타율이 높았으니, 두 값(타율)을 더한 결과도 당연히 이승엽 선수가 높을 것이라고 생각할 수 있다.

 

정말 그럴까? 다음의 구체적인 예를 살펴보자.


바보덧셈4

왜 이러한 현상이 나타날까?

 

일반적으로 부등식의 대소 관계는 다음과 같다.


바보덧셈 5


즉, 큰 수끼리 더한 값이 작은 수끼리 더한 값 보다 항상 크다. 이는 분수에 대한 대소 관계에서도 동일하다.

 

바보덧셈 6

 

하지만 분수의 바보덧셈에서는 성립하지 않는다.

 

바보덧셈 7
 

사람들은 자신이 배운 성질의 적용 영역을 성질이 다른 비슷한 다른 영역으로까지 은연중에 확장하여 적용하곤 한다. 이는 실생활에서 중대한 판단착오로 이어지기도 한다. 다음이 그 대표적인 사례이다.  

  

이번 ○○시 지방선거에 ‘’후보와 ‘’후보가 출마하였다. 지지율 설문조사 결과 A, B, C 세 지역구에서 ‘’후보가 응답자들에게 모두 높은 지지율을 얻었다고 한다. 이 결과로 ‘’후보의 응답자들에 대한 전체 지지율도 높다고 말할 수 있을까?

 

먼저 ‘’후보는 A지역구에서 120명의 설문 응답을 받았으며, 이중 27명의 지지를 받았으며, B지역구에서는 100명중 27명, C지역구에서는 80명중 20명의 지지를 받았다고 하자.

 

다음 ‘’후보는 A지역구에서 55명의 설문 응답을 받았으며, 이중 12명의 지지를 받았으며, B지역구에서는 200명중 53명, C지역구에서는 45명중 11명의 지지를 받았다고 하자.

 

이때, ‘’과 ‘’후보의 A, B, C 전체지역구의 지지율의 총합 역시 ‘바보덧셈’의 계산법으로 아래와 같이 표가 만들어 진다.

 

바보덧셈8

결국 A, B, C 세 지역구의 개별 지지율은 ’후보가 높지만, 전체 지지율은 오히려 ‘’후보가 더 높음을 알 수 있다. 이와 같은 현상은 ‘심프슨의 역설’로 널리 알려져 있다.



이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.


바로가기  ○ 수학실험실 No.201. 심프슨(Simpson)의 패러독스





 

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