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모두의 수학

우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

원주율(π)의 숫자배열에서 나의 생일을 찾아보자!!

매년 3월 14일은 ‘White day’로 지난 ‘Valentine day(2월 14일)’에 초콜릿을 받은 남성이 그 답례로 여성에게 사탕 등을 선물하는 날로 알려져 있다. 하지만 이 날을 또 다른 기념일로 즐기는 이들이 있다. 바로 수학을 좋아하는 사람들이다. 이들은 원주율 값인 π(파이)의 근삿값 3.14를 본 따서 3월 14일을 ‘π day’라고 부르며 원주율 자릿수(3.141592653…) 외우기, 스톱워치로 3.14초 정확히 맞추기 등의 이벤트를 하며 파이(pie)와 같은 음식을 함께 즐긴다. 요즘은 우리나라 수학 수업시간에서도 이날엔 수학교사가 학생들에게 초코파이를 나눠주며 조촐한 π day 행사를 가지곤 한다.


파이


많은 이들이 원주율(π)을 3.14 정도로 알고 있지만, 실제는 3.14159265358979323846264…처럼 무한하게 끝없이 나열되며, 숫자의 배열에 규칙 또한 없는 무리수이다.

 

원주율(π)은 무엇을 의미하며 언제, 어떻게 발견되었을까?

 

한 점(중심)으로부터 일정한 거리(반지름)를 갖는 도형을 ‘원’이라 하는데 원주율은 바로 이 ‘원’에 대하여 지름과 둘레의 길이에 대한 관계를 궁금해 하는 인간의 기질적 호기심으로부터 발견된 값이다.


원주율 공식


원의 크기와 관계없이 항상 일정한 값을 갖는다는 원주율에 대한 역사는 기원전 2000년경 고대 이집트 시대로 추측하고 있다. 그 당시 이집트인들은 ‘기둥’과 ‘실’과 같은 도구를 이용하여 측정하였다.

 

원주율 측정

 

이와 같은 측정의 방법으로 이들이 얻은 원주율 π의 값은 3.142857… 정도로 상당히 근접하였다. 그러다 기원전 250년경 고대 그리스 수학자 ‘아르키메데스’는 원에 내접하는 다각형을 이용하여 측정이 아닌 수학적 계산의 방법으로 π의 근삿값을 구하였다. 정4각형, 정8각형, 정12각형, … 정96각형, 정192각형과 같이 원에 내접하는 다각형의 둘레의 길이를 구하면 이 값이 점점 원의 둘레의 길이에 가까워진다는 것을 이용하여 계산해 낸 것이다. 실제, 지름이 1인 원에 내접하는 정192각형의 둘레의 길이는 약 3.141로 더욱 정확한 π의 근삿값을 얻게 된다. 아르키메데스의 방법은 이후에도 약1800년 이상 원주율을 구하는 가장 좋은 방법으로 사용되었으며, 1596년 독일의 수학자 ‘루돌프’는 변의 개수가 2⁶²≒ 46억 개인 다각형을 사용하여 π의 근삿값을 무려 35자리까지 구해낸다. 루돌프는 이 값을 계산하기 위해 일생을 바쳤으며, 그의 묘비에는 이 업적을 기리며 3.14159265358979323846264338327950288을 새겨놓았다고 한다.


다각형의 둘레


이후, 수학의 발전은 π의 값을 더욱 효율적으로 정확하게 구해내는 방법들을 찾아내기 시작하였다. 1706년 영국의 천문학자 ‘존 마친’은 100자리까지 발견하였고, 1761년 독일의 수학자 ‘람베르트’는 π가 무리수(무한하게 끝없이 나열되며, 숫자의 배열에 규칙 또한 없는 수)임을 수학적으로 증명하기에 이른다. 그럼에도 불구하고 수학자들은 더욱 큰 자릿수의 π값을 찾기 위하여 도전하였다. 1844년 독일의 ‘요한 다제’는 200자리까지의 π값을 계산하였으며, 20세기에 이르면서는 컴퓨터의 등장으로 폭발적인 π값 계산에 이르게 된다.

 

그렇다면, 우리가 사용하고 있는 컴퓨터로는 얼마만큼의 π값 계산이 가능할까?

 

평범한 노트북으로 세계적인 수학프로그램(Mathematica)을 이용하여 구하여 본 결과 단 1초도 안되어 1,000자리까지를 계산해낸다.

 

원주율 100자리

조금 더 큰 자릿수의 π값을 찾고자 했던 수학자들의 갈망처럼, 나 역시 더 큰 π값을 구하여보고 싶음에 컴퓨터의 성능을 감안하여 천만자리까지 계산을 실행해보았다. 계산시간은 5초로 생각보다 빠른데, 모니터 상에 나타나는 시간과 파일의 저장시간이 오래 걸린다.(천만자리 π 계산 PDF 파일 다운받기) 그럴 만도 한 것이, π천만자리 계산결과는 A4용지로 빼곡하게 2,165페이지에 이르며 저장용량도 8Mbyte나 된다.

 

이렇게 찾은 천만자리의 원주율 π값으로 의미 있는 시도를 해보자.


규칙성 없이 무한히 나열되는 무리수 π 천만자리 숫자배열에 나의 생일이 존재할까?

 

가장 쉽게 찾는 방법은 천만자리 π계산의 PDF파일을 이용해볼 수 있다. 다운받은 PDF을 열어 아래의 그림과 같이 텍스트 찾기로 생년월일(예로, 74년 09월 12일)을 입력해본다.

생일 찾기

텍스트의 밋밋함에 즐거움을 더하는 두 번째 방법으로 작가의 사이트를 이용해본다. ‘원주율이 품은 나의 생일’이라는 수학실험실에서 자신의 생년월일(예로, 74년 09월 12일)을 입력하면, π의 천만자리 수에서 자신의 생년월일이 최초로 몇 번째 나타나는지를 계산(1,137,374번째)하여 π의 형태로 디자인 되도록 프로그래밍 해 놓았다.


파이속 내생일

평생을 바치며 π 의 35번째 값(3.14159265358979323846264338327950288)까지 계산한 독일의 수학자 ‘루돌프’가 이렇게 멋진 이미지를 보았다면 얼마나 감격스러웠을까?

 

원주율 π의 천만자리까지가 과연 필요할까?

 

요즘에도 원주율 π의 자릿수 계산은 계속하여 시도되고 있다. 주로 슈퍼컴퓨터의 성능을 측정하는 방법으로 활용되며, 현재까지 슈퍼컴퓨터로 계산된 π의 값은 약 1조 2천억 자릿수 이상이다. 하지만, 실제 생활·예술품, 건축, 과학기술 등에서 필요로 하는 π의 값은 10자리(3.1415926535) 수준에 불과하다. 이정도 값으로 우리는 지구의 둘레를 1mm 이하의 오차까지 계산할 수 있으니 말이다. 설령, 천문학과 같이 우주의 반경에 대한 둘레를 계산한다하여도 40자리(3.1415926535897932384626433832795028841971)로 충분하다. 그럼에도 불구하고 수학자들은 한없이 뻗어나가고 있는 원주율 π를 무슨 연유로 추적하고 있는 것일까? 그것은 아마도 인간 본연의 특성인 학문적 호기심이 아닐까 싶다. 지금도 계속하여 팽창하고 있는 무한한 우주의 대자연처럼 원주율 π에서 끝없이 펼쳐지는 무한세계에 조금이라도 더 깊숙이 들어가 바라보고 싶은 갈망이며 로망일 것이다. 수학은 그렇게 지금까지 발전해 왔고, 이후에도 그렇게 발전해 나갈 것이다. 




이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.


바로가기  ○ 수학실험실 No.287  원주율이 품은 나의 생일

              나의 생일을 품고 있는 원주율 π-티셔츠 디자인




 

 


 

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