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한붓그리기가 되지 않는 그림을 찾아라!

<문제>

아래 도형 중 한붓그리기가 되지 않는 그림은? 단, 한붓그리기란, 연필을 떼지 않고 그림을 그릴 수 있는 것을 뜻한다. 


한붓그리기


풀이)

누구나 한 번쯤은 해 본 적이 있을 법한 ‘한붓그리기’ 문제다. 이리저리 그림을 그릴 시작점을 바꿔가며 그림을 완성하는 재미가 쏠쏠하다. 하지만 한붓그리기가 되는지 안 되는지는 그림을 직접 그려보지 않고서도 알 수 있다. (물론 직접 그림을 그려 볼 때가 더 재밌기는 하지만 말이다.)

한붓그리기 문제는 수학에서 점과 선으로 연결한 그림을 뜻하는 ‘그래프’(수학에서는 수식을 좌표에 나타내는 그래프와 또 다른 그래프다.)와 관련이 있다. 점과 선을 연결한 그래프에서는 그래프의 모양 보다는 점과 선이 연결된 구조만이 중요하다.

그렇다면 한붓그리기가 되는지, 되지 않는지 어떻게 알 수 있을까? 먼저 각 그림에서 선과 선이 만나는 곳을 점으로 표시하고, 그런 다음 각 점에서 몇 개의 선이 만나는지 세어 점에 표시한다. 예를 들어 두 개의 선이 만나는 점에는 ‘2’라고 쓰면 된다. 보기 4개의 그림에 적용하면 아래와 같다.


2


선분이 만나는 개수가 홀수이면 홀수점, 짝수이면 짝수점이라고 한다. 한붓그리기는 홀수점이 없거나 2개일 때만 가능하다. ①은 홀수점이 4개, ②와 ④는 2개이며, ③은 없다. 따라서 ①만 한붓그리기를 할 수 없다. 나머지는 한붓그리기를 모두 할 수 있다. 홀수점이 2개인 경우에는 하나의 홀수점에서 시작해 모든 선을 돌아 나머지 홀수점에서 그림을 마치게 된다.

이 사실을 알아낸 사람은 18세기의 유명한 수학자 오일러다. 쾨니히스베르크라는 도시에 있는 7개의 다리를 중복되지 않고 건너는 문제를 해결하기 위해 점과 선으로 이뤄진 그래프를 생각해 냈고, 한붓그리기의 해법도 찾아냈다. 어떤가? 위대한 수학자가 무려 200년 전에 발견한 수수께끼의 해법을 쉽게 알게 되었으니, 이제 종이와 연필을 가지고 직접 그림을 그리면서 수수께끼를 즐겨 보자.

 

 

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