객관식 시험문제를 풀다가 모르는 문제가 있으면 행운이 함께하길 바라는 마음으로 정답을 찍은 경험은 누구에게나 한번쯤은 있을 것이다.

객관식 20문제, 100점의 행운이 현실적으로 가능할까?

매년 수백대 일의 경쟁률을 기록하는 공무원 시험의 경우 과목별 5지선다형으로 구성된 객관식 20문제가 총 5개의 과목으로 출제된다. 만약 자신이 모르는 문제가 단 1문제라면 임의로 기록한 답안이 정답일 수 있는 기대치가 크다. 바로 ⅕=0.2=20%이기 때문이다. 하지만, 모르는 문제가 많아질수록 임의로 기록한 답안이 모두 정답이 될 확률은 크게 떨어지기 시작한다. “연속으로 정답일 확률”이란 것은 확률값이 곱셈으로 계산되어지기 때문이다.

그렇다면,

5지선다형 객관식 20문제의 답안을 모두 임의로 기록할 때, 20문제 모두가 정답일 확률은 얼마나 될까?

20문제를 연속으로 맞출 확률은

이를 풀어쓰면 0.0000000000000105이며,

빈도수로 해석하면 약 100조명 중 1명에게나 일어날 수 있는 일이다.

2013년에 조사한 세계인구수가 약 72억명이므로, 전세계인이 참여한다해도 20문제 모두 정답을 맞춘 사람이 나타날 가능성은 0.0072% 수준에 불과하다.

참고로 우리나라 로또복권의 1등 당첨확률은

이번에는 그 반대 상황을 알아보자.

5지선다형 객관식 20문제의 답안을 모두 임의로 기록할 때, 20문제 모두가 오답일 확률은 얼마나 될까? 

20문제 모두 정답일 확률(0.0000000000000105) 에 비하여, 모두 틀릴 확률(0.012)은 꽤나 높다. 

문제의 개수가 많아질수록 임의로 기록한 답안이 모두 틀릴 확률이 감소하기는 하지만,

생각보다 크게 작아지지 않은 이유에서다.

일반적으로 5지선다형 객관식 20문제의 답안을 모두 임의로 기록할 때,

따라서 5문제 이상을 맞춘 경우는 ‘운이 좋은 편’이고, 3문항 이하를 맞춘 경우는 ‘운이 나쁜 편’에 속한다.

다음은 5지선다형 객관식 20문제의 답안을 모두 임의로 기록할 때, 내가 맞춘 문항수의 확률표 이다.

위의 표를 보면,

객관식 20문제 중 15문제를 맞출 확률(0.000000166)이 로또복권 1등에 당첨될 확률(0.00000012)과 엇비슷함을 알 수 있다. 전체의 절반인 10문제 이상을 맞출 확률(0.00259)조차도 1,000명중 2~3명 수준에 불과하다.

[더 알아보기] 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.

○ 바로가기  수학실험실 No.123. 객관식 20문제 대박찍기 가상실험