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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

도넛이 컵이 된다면?

 <문제>

도넛 모양의 반죽이 있다고 상상해 보자. 이 반죽을 조물조물 만지면 아래와 같이 손잡이가 한 개 달린 컵을 만들 수 있다. 단, 이때 처음 도넛 모양의 반죽에 뚫린 구멍을 없애거나, 또 다른 구멍을 만들지 않는 것이 중요하다. 반죽을 늘이거나 줄이는 것만 가능하다.

도넛 컵
ⒸPublic Domain(wikipedia.org)

같은 규칙으로 이번에는 알파벳 'E'모양의 반죽이 있다고 상상해 보자. ‘E'모양의 반죽으로 만들 수 없는 알파벳은 무엇일까?


 ① F     ② T     ③ H     ④ Y

 



풀이)

이 문제의 답을 찾는 데에는 ‘반죽에 구멍을 뚫거나 반죽의 일부를 떼어 붙이지 않고 그 모양을 유지한 상태에서 늘이거나 줄이기만 해야 한다는 규칙’을 얼마나 정확하게 이해했는지에 달려 있다. 예를 들어 설명한 구멍이 한 개 뚫려 있는 도넛 모양의 반죽에서 구멍을 그대로 유지한 상태에서 손잡이가 하나 달린 컵을 만든 것처럼 말이다.


'E'모양의 반죽은 ‘ㅏ’모양의 반죽이라고 보면 된다. 양 끝을 구부리면 ‘E’ 모양이 되기 때문이다. 이제 ‘ㅏ’모양의 반죽으로 만들 수 없는 알파벳을 보기에서 찾아보자. F, T, Y는 모두 두 선분이 만나는 곳이 1개인 것으로 ‘ㅏ’모양의 반죽에서 구부리거나 꺾어서 만들 수 있다.


그러나 'H'는 두 선분이 만나는 곳이 2개로 'ㅏ‘모양의 반죽을 늘이거나 구부려서 만으로는 만들 수가 없다. 반죽을 떼어 다시 붙여야만 만들 수 있으니 정답은 H이다.


문제를 읽고서 누군가는 ‘이 문제도 수학 문제인가?’하고 의심을 했을지도 모르겠다. 같은 모양의 반죽으로 만들 수 있는 알파벳을 찾으라니, 수학 문제라고 하기에는 낯설기 때문이다. 하지만 이 문제는 사실 수학의 한 분야인 ‘위상수학’*을 쉽게 설명할 수 있는 문제다. 학교에서 배우는 수학에서는 두 모양을 겹쳤을 때 완전히 겹쳐지는 것을 똑같은 모양이라고 하지만, ‘위상수학’에서는 길이나, 넓이, 모양이 중요하지 않다. 위상수학에서 구멍이 하나인 도넛과 손잡이가 하나인 컵은 같다고 볼 수 있다.


그럼 알파벳을 위의 규칙대로 분류하면 어떻게 분류할 수 있을까? 위의 문제를 스스로 해결했다면 도전하는 마음으로, 잘 이해가 되지 않았다면 다시 도전하는 마음으로 분류해 보자. 알파벳을 말랑말랑한 밀가루 반죽이라고 상상하면서 말이다. 결과는 아래의 표와 같다. 

표

* 위상수학 : 수학의 한 분야로 공간 속의 점, 선, 면 및 위치 등에 관해 양이나 크기와는 별개의 형상이나 위치 관계를 나타내는 학문. (위상수학 단어를 처음 쓴 독일의 수학자 요한 베네딕트 리스팅의 정의다.) 

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