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30일 뒤에 모인 돈은 얼마일까?

<문제>
저금

김 대리 옆에 앉은 신입사원 후배가 저금통에 만 원짜리 지폐를 넣고 있었다.

“한 달 뒤에 여자 친구 생일인데, 매일 만 원씩 모으려고요. 김 대리님도 해 보세요. 매일 돈을 모으는 재미가 쏠쏠해요.”

“그래? 그럼 나도 매일 돈을 모아서 다음 달 내 생일 선물을 사 볼까?”

 

김 대리는 지갑을 열어 보았다. 그런데 고작 500원 짜리 동전 한 개가 전부였다.

“오늘은 500원, 내일은 500원을 더한 1000원, 그 다음날은 1500원, 매일 500원 씩 늘려가야지.”

옆에서 김 대리의 말을 듣고 있던 신입사원 후배가 살짝 비웃듯 말했다.

“그렇게 동전 모아서 한 달해봐야 10만 원이나 되겠어요?”

 

김 대리는 후배에게 자신 있게 대답했다.

“10만 원은 훨씬 넘을 걸? 만 원씩 모은 것과 모인 돈이랑 별 차이 없을 텐데.”

정말 그럴까? 500원으로 시작해 매일 500원씩 저금하는 돈을 늘려 모으는 김 대리는 30일 동안 얼만 큼의 돈을 모을 수 있을까? (가장 액수가 가까운 것을 고르세요.)


➀ 약 15만 원 ➁ 약 20만 원 ➂ 약 25만 원 ➃ 약 30만 원   



풀이)

500원에서 시작해 500원씩 저금하는 액수를 늘리는 김 대리의 저금 방법은 간단한 계산 문제라고 볼 수도 있지만, 사실 고등학교 수학에서 배우는 수열 문제이다. 하지만 초등학생도 수열의 공식을 몰라도 규칙을 찾아 문제를 풀 수 있다. 실제로 규칙성을 배우는 단원에서 이런 문제를 풀기도 한다.

 

오늘은 천재 수학자 가우스의 아이디어로 문제를 풀어 보자. 1부터 100까지의 자연수의 합을 구하라는 문제를 접한 어린 가우스는 다른 학생들이 1부터 숫자를 직접 더하고 있을 때, 얼마 되지 않아 답을 구해서 선생님을 놀라게 했다는 일화가 있다. 1과 맨 마지막 수인 100을 더하고, 2와 100 이전의 99를 더하고, 3과 98을 더하고, 이렇게 두 수를 짝을 지으면 101인 수가 100개의 절반인 50개가 되어 1부터 100까지의 자연수의 합을 101×50=5050으로 간단하게 구한 것이다.

 

김 대리의 저금도 같은 방법으로 구하려면 30일째 맨 마지막 날에 저금하는 돈의 액수를 알아야 한다. 500원에서 29일 동안 500원씩 늘렸으므로 500+29×500=15,000원이다.

첫 날과 마지막 날의 저금한 돈을 더하면 500+15,000=15,500원이고, 둘째 날과 마지막 날의 전 날 저금한 돈을 더하면 역시 1000+14,500=15,500원, 같은 방법으로 두 개씩 짝을 지으면 모두 15500원이 30일의 절반인 15개 생긴다. 따라서 15,500원×15=232,500원이다. 매일 만 원씩 모은 신입사원 후배가 모은 돈보다는 적지만, 10만 원보다는 훨씬 많은 금액이다. (정답은 ➂번 25만 원에 가장 가깝다.)

 

사실 고등학교 과정에서 배우는 등차수열의 공식을 외우고 있다면, 이보다 좀 더 빠르게 답을 구할 수 있다. 하지만 가우스의 생각대로 푼 위의 방법과 공식을 이용해 푸는 방법과 본질적으로는 아이디어가 같다.

 

그럼 여기서 한 걸음 더 나아가 김 대리의 방법으로 저금한 것이 신입사원이 모은 돈 보다 많아지는 날은 며칠 째부터일까?

39일까지 김 대리의 방법으로 저금을 하면 39만 원이 되어 신입사원이 매일 1만 원씩 39일을 모은 돈과 같아진다. 그리고 40일부터는 김 대리의 저금이 신입사원의 저금보다 많아지게 된다.

 

전래동화 중에 지혜로운 일꾼이 주인에게 노동의 대가로 쌀 한 톨부터 시작해 그 다음날은 전 날의 두 배씩 쌀을 달라고 요구한 것을 주인이 대수롭지 않게 여겼다가 엄청난 양의 쌀을 줘야 했다는 이야기가 있다. 이 이야기는 더하는 것이 곱의 배로 커질 때 그 양이 기하급수적으로 늘어난다는 교훈을 준다. 그런데 비단 곱으로 더하는 값이 커지지 않더라도 정 대리의 저금처럼 덧셈으로 늘어나는 더하기도 생각한 것보다는 훨씬 그 값이 크다는 걸 알 수 있다.

 

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