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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

저울이 수평이 되려면 빨간 공은 몇 개 필요할까?

<문제>

무게가 1g부터 5g까지 서로 무게와 색깔이 다른 다섯 개의 공이 있다. 아래의 그림과 같이 양팔 저울에 공을 놓았더니 수평이 되었다. 마지막 저울에서도 수평이 되려면 오른쪽에 빨간 공 몇 개를 놓아야 할까?

저울
➀ 2개 ➁ 3개 ➂ 4개 ➃ 5개 

풀이)

저울로 무게를 비교하는 활동은 구체적인 물건의 무게를 비교하는 초등학교 수학에서부터 시작해, 중학생이 되어 배우는 방정식과 부등식의 개념까지 연결된다. 똑같은 것을 덜어내거나 더해도 등식이 변하지 않는다는 방정식의 성질도 저울로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 다섯 개 공의 무게를 각각 알아내려면 두 가지 저울을 토대로 추론을 해야 한다. 이제 천천히 첫 번째 저울부터 살펴보자.

 

첫 번째 저울에서는 양쪽에 모두 파란 공이 있다. 양쪽에서 파란 공을 똑같이 덜어내도 수평은 유지되므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

노란색 공 + 빨간색 공 = 초록색 공 … ➀

이제 ➀의 식을 만족하는 경우를 모두 찾아 표를 만들면 아래와 같다.


표1

그런 다음 두 번째 저울의 오른쪽에 있는 초록색 공 2개와 노란색 공 1개 무게의 합을 위에서 찾은 모든 경우에 찾아 계산을 하면 아래 표와 같다. 초록색 공 2개와 노란색 공 1개 무게의 합은 보라색 공 3개의 합과 같아야 하므로, 초록색 공 2개와 노란색 공 1개의 무게 합은 3의 배수가 되어야 한다.


표2


그런데, 보라색 공의 무게가 3은 될 수 없다. 빨간색 공의 무게가 3으로 중복되기 때문이다. 따라서 5개 공의 무게는 다음과 같다.


표3

따라서 세 번째 저울에서 파란색 공 2개, 초록색 공 1개, 노란색 공 1개 무게의 합인 9와 무게가 같으려면 빨간색 공(무게3)은 3개가 필요하다. 정답➁. 

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