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로또복권, 1등 꿀조합이 있을까?

로또
 

로또복권의 번호선택 방법은 자동과 수동의 조합 방식이 있다. 만약, 여러분들이 자동조합의 방식으로 5게임을 구매하였는데, 그 조합이 아래와 같았다고 한다면 어떤 생각을 할까?

 

로또 조합
 

확률을 잘 이해하지 못한 이들은 아마도 자동조합으로 구매한 것을 후회할지도 모른다. 게임게임가 너무 극단적인 조합으로 나왔기 때문이다. 그렇다고 게임➁게임➃ 역시 썩 마음에 드는 조합은 아니다. 게임는 너무 작은 수들로 구성되어 있고 게임➃는 너무 큰 수들로 구성되어 있다. 그렇게 본다면 게임이 가장 무난한 조합이라고 생각할 법도 하다.

 

사람들이 게임을 무난한 조합이라 말하는 이유는 이러한 수준의 조합을 가장 흔하게 볼 수 있기 때문이다. ‘무난한 조합’의 기준은 총합, 홀짝의 개수, 연속인 수의 개수 등의 다양한 시각에서 생각해볼 수 있다. 이중, 여기서는 숫자들의 ‘총합’에 대한 관점에서 살펴보자.

 

로또복권의 모든 조합에 대한 총합

 

로또복권의 6개 번호에 대한 총합은 큰 수와 작은 수의 적절한 균형을 의미한다. 총합의 최솟값은 21이며, 최댓값은 255이다. 총 8,145,060가지의 로또 조합 중 총합이 21인 경우는 게임 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 총합이 255인 경우는 게임➄ {40, 41, 42, 43, 44, 45}가 유일하다. 나머지 조합들은 총합이 22∼254인데 이들의 분포를 살펴보면 다음과 같다.


로또 게임 총합

총합에 대한 조합의 분포를 살펴보면, 게임➂이 포함되어있는 그룹(총합이 101∼175인 조합)이 전체의 78%(6,378,314개)을 차지하고 있으며, 게임과 같이 총합이 133인 조합도 전체의 1.3%(104,387개)나 된다.

 

특정 범위의 분포가 많다는 것은 그 분포 내에서 당첨조합이 나올 가능성이 크다는 것을 의미한다. 이는 로또복권의 지난 1회부터 800회(2018.03.31)까지에 대한 당첨조합을 위의 분포율과 비교해보면 알 수 있다.


로또

게임과 같은 그룹처럼 총합이 101∼175인 로또조합의 분포율(78%)은 실제 당첨비율(77%)과 서로 비슷한 결과를 보여주고 있다. 하지만 이것이 당첨될 확률을 의미하는 것은 아니다. 게임➀부터 게임➄까지 각 조합의 당첨확률은 여전히 1/8,145,060(=0.000000122774)로 동일하다. 혹여, 자동구매로 얻은 5게임의 조합 중에서 게임➂과 같은 조합이 가장 당첨 가능성이 높다고 생각하는 이들이 있다면, 이는 게임➂포함된 그룹의 분포율이 높은 것을 게임➂에 대한 당첨확률이 높은 것으로 혼동한 것이다.

 

이는 컴퓨터로 임의의 추첨번호를 생성하여 당첨여부를 확인해보면 실감할 수 있다.

다음은 총 천만번의 추첨번호를 생성하여 게임➀부터 게임➄까지의 당첨여부(각 등수)를 집계한 결과이다.

 

로또 추첨번호

 

위의 가상실험 결과에서 각 등수별 당첨횟수를 정리해보면 아래와 같다.

로또

보는바와 같이 게임➀부터 게임➄까지 천만번의 추첨결과 1등은 물론 나머지 등수에 대해서도 엇비슷한 당첨횟수와 분포를 보인다. 이는 ‘게임➀부터 게임➄까지의 조합에 대한 당첨가능성은 차이가 없다.’라는 것을 의미한다.

 

사실, 위의 게임부터 게임까지의 조합에서 2개는 제800회까지 추첨된 로또복권의 당첨번호이기도 하다.


로또

지금까지 ‘총합’의 관점에서 로또복권의 조합들을 살펴보았다. 이는 ‘총합’ 뿐만 아니라 많은 사람들이 번호 조합을 고민할 때 고려하는 ‘홀짝의 개수’, ‘연속인 수의 개수’ 등에서도 다를 바 없다.

 

결론적으로 로또복권에서 당첨 가능성이 조금이라도 더 높은 꿀·조합은 없다. 게임➀게임➄를 비롯한 다른 모든 조합들도 당첨확률은 1/8,145,060(=0.000000122774)로 같다.




[더 알아보기] 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.



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