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음료 캔은 최대 몇 개까지 넣을 수 있을까?

음료캔


풀이)


대형 마트에 가면 음료 캔을 상자 단위로 파는 모습을 흔히 볼 수 있다. 대부분 직사각형 모양의 상자에 가로줄과 세로줄에 같은 수로 줄을 세워 담겨져 있다. 신입사원 후배가 상자에 음료 캔을 담은 것처럼 말이다.


이렇게 음료 캔을 넣는 것이 음료의 개수를 세기도 쉽고, 또 보기에도 가지런하고, 짝수 개수로 담을 수 있기 때문에 여러 모로 편리하지만 상자에 음료 캔을 가장 많이 담을 수 있는 방법은 아니다.


김 대리의 생각대로 상자에 음료 캔을 더 넣을 수 있는 방법이 있는데, 비법은 음료 캔을 일렬로 가지런히 줄을 세워 넣지 말고 조금씩 어긋나게 넣는 방법이다. 아래의 사진처럼 말이다. 



음료캔

이렇게 첫 줄에 5개를 담고 그 다음 줄에 살짝 어긋나게 4개를 담고, 이런 방법으로 음료 캔을 채우면 놀랍게도 40개보다 하나가 더 많은 41개의 음료 캔을 담을 수 있다.


이 문제는 평면에 같은 크기의 원을 가장 효율적으로 배열하는 방법에 관한 것이다. 육각형 배열이 원을 가장 효율적으로 배열할 수 있는 방법이라는 사실은 20세기에 증명되었다.

이 문제를 3차원 구로 확장해 보면 어떨까? ‘일정한 공간에 같은 크기의 구를 가장 효율적으로 배열하는 방법은 무엇일까?’의 문제가 된다.


독일의 천문학자인 케플러는 1611년 구 한 개를 12개가 둘러싸고 있는 배열이 가장 효율적인 방법이라고 자신의 저서에 밝혔다. 하지만, 케플러는 이를 증명하진 못했는데, 1998년 미국의 수학자 토머스 헤일스가 컴퓨터로 이를 증명해 케플러의 추측이 옳았다는 것을 밝혀내는 데 성공했다. 



음료캔

(▲ 공간에 크기가 같은 구가 효율적으로 채워지려면 구 한 개에 12개의 구가 둘러싸여 어긋나게 쌓인 모양이어야 한다.)

 

마트에서 음료 캔이 가득 담긴 상자 뿐 아니라, 수북하게 쌓인 동그란 과일을 유심히 살펴보자. 케플러의 추측은 몰랐더라도 자연스럽게 상자 안에 과일 하나라도 더 넣기 위해 과일을 어긋나게 쌓아가며 담는 모습을 쉽게 볼 수 있을 것이다. 



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