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축구공을 닮은 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 모두 더하면?

★초등 수학★

제목 : 축구공을 닮은 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 모두 더하면?

 


아래 그림은 ‘축구공’하면 생각나는 다면체다. 12개의 오각형과 20개의 육각형으로 이뤄진 ‘깎은 정이십면체’이다.1970년에 처음 등장한 공인구 텔스타 축구공의 모양이기도 하다.



축구공

                                   이미지 출처: by Watchduck CC-BY-4.0(Wikimedia commons)

 

이 깎은 정이십면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 모두 더하면 얼마일까?

➊ 180                ➋182               ➌184                  ➍186



풀이) 
4년마다 월드컵이 열리면 새로운 공인구를 선보인다. 2006년 독일 월드컵 이후부터는 곡선으로 이뤄진 조각을 모아 만든 공인구가 등장했지만, 1970년부터 2002년 월드컵까지 무려 32년 동안은 디자인 변화만 있을 뿐 깎은 정이십면체로 모양의 축구공을 썼었다. 그래서인지 깎은 정이십면체는 축구공의 상징인 다면체가 되었다. 

문제에서도 설명했듯이 깎은 정이십면체는 정오각형과 정육각형, 두 종류의 다각형으로 이뤄진 준정다면체다. 아래 그림과 같이 정이십면체의 꼭짓점 부분을 자르면 잘린 꼭짓점 부분은 오각형이 되고, 본래 정이십면체의 삼각형 면은 육각형이 된다. 

                        육각형

이제 깎은 정이십면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 하나씩 구해 보자. 문제에서 깎은 정이십면체는 12개의 오각형과 20개의 육각형으로 이뤄졌다고 했으므로, 면의 개수는 12+20=32이다. 

모서리와 꼭짓점의 개수는 실제 축구공이 있다면 중복되지 않고, 빠뜨리지 않으면서 직접 세어 보면 된다. 하지만 위의 그림만 보고서 모서리와 꼭짓점의 개수를 직접 세는 것은 불가능하다. 

그럼 모서리와 꼭짓점의 개수는 어떻게 알 수 있을까? 깎은 정이십면체는 12개의 정오각형과 20개의 정육각형으로 이뤄져 있다. 각각의 조각을 모두 뜯어냈다고 상상해 보면 모든 모서리의 개수는 12×5+20×6=180이다. 

그런데 이 조각으로 깎은 정이십면체를 만들려면 두 개의 모서리가 붙어야 한다. 위의 값을 2로 나눈 값이 깎은 정이십면체의 모서리 개수이므로 깎은 정이십면체의 모서리의 개수는 180÷2=90개다. 

꼭짓점의 개수도 같은 방법으로 생각해 보자. 꼭짓점은 정오각형, 정육각형의 모서리 3개가 모였을 때 한 개의 꼭짓점이 생긴다. 따라서 정이십면체의 꼭짓점 개수는 정오각형과 정육각형의 모서리의 전체 합인 180을 3으로 나눈 60개다. 그러므로 깎은 정이십면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 모두 더하면 32+90+60=182이다. (정답은 ➋)

같은 방법으로 내가 알고 있는 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 직접 세어보지 않고 구해 보자. 머릿속으로 어떤 모양의 다각형 몇 개가 연결되어 입체가 되는지 상상하면서 말이다. 
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