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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

눈송이를 닮은 모양의 둘레 길이는?

프랙탈

부분의 모양이 전체의 모양과 비슷한 것을 수학 용어로 ‘프랙탈(Fractal)'이라고 한다. 이 눈송이를 닮은 모양은 ’코흐 곡선‘이라는 이름으로 불린다. 이 곡선을 처음 생각한 스웨덴의 수학자 헬게 폰 코흐의 이름을 따 지은 것이다.

이제 3단계 코흐 곡선의 둘레 길이를 1단계에서부터 차근차근 과정을 따라 구해보자. 먼저 0단계의 정삼각형의 둘레의 길이는 3이다. 1단계 코흐 곡선의 길이는 삼각형의 한 변 부분의 길이가 1/3 × 4 인데, 삼각형의 변이 3개이므로 1단계의 모양의 둘레 길이는 1/3 × 4 ×3= 4 이다.

2단계 모양에서 삼각형의 한 변 부분의 길이는 1/3²인 변이 4²개 있다. 이러한 것이 3개의 변에 모두 있으므로, 1/3²×4²×3= 16/3 이다.

마지막 3단계는 그림이 조금 더 복잡해졌지만, 역시 2, 3단계 과정과 똑같은 과정을 따랐을 뿐이다. 삼각형의 한 변 부분의 길이는 1/3³인 변이 4³개 있고, 이러한 것이 3개의 변에 모두 있으므로, 1/3³× 4³× 3= 64/9 이다. 따라서 64/9에 가장 가까운 자연수는 7이므로 정답은 ➋번이다. 

사실 3단계에서는 직접 식을 세우지 않고서도 2단계 과정에서 만 4/3곱하면 된다는 규칙을 찾아 쉽게 구할 수 있다. 규칙을 찾았으니 n단계 모양의 둘레를 구하는 것도 전혀 문제가 되지 않는다. n단계의 코흐 곡선의 길이는 (4/3)ⁿ×3 임을 알 수 있다. n이 커짐에 따라 코흐 곡선의 길이는 끝없이 무한으로 커진다. 




◎ 한 걸음 더! 
Q: 한 변의 길이가 1인 정삼각형이 있다. 코흐 곡선 과정을 10번 거치면, 코흐 곡선의 길이는 어떤 자연수에 가장 가까운 수가 될까? 
A : (4/3)^10 ×3으로 가장 가까운 자연수는 53이다.
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