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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

연봉계약, 손해보지 않기 위해 꼭 알아야 할 평균계산법!

많은 사람들이 평균은 ‘자료 전체의 합을 자료의 개수로 나눈 값’이라고 알고 있다. 평균 점수, 평균 기온, 평균 강수량 등 일상에서의 대부분이 이 방법으로 평균을 계산하며, 정확한 명칭은 ‘산술평균’이다. 다음은 일상에서 가장 많이 활용되는 평균점수에 대한 계산문제이다.
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수학점수라는 자료(80점, 90점)의 개수가 2개 이므로, 평균점수는 아래와 같이 계산한다.
(80 + 90) / 2 = 95 점

일반적으로 두 값 a, b의 산술평균은 다음과 같이 계산한다.
(a + b) / 2

하지만 일상에서 우리가 다루는 모든 대상들의 평균이 이와 같은 방법으로 계산될까? 다음의 두 가지 사례로 생각해보자.

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여러분들의 생각은 어떠한가, 4배? 5배?

본 문제는 전년도를 기준으로 하는 누적된 비율(몇 배)의 평균을 구하는 사례로, 위에서 평균점수를 구하였던 방법으로 계산하면 아래 공식과 같이 평균 5배가 되지만 실제는 그러하지 못하다.

(2 + 8) / 2 = 5배


이 회사의 2015년 매출액을 w(원)이라고 하면,
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2016년 매출액은 2배 증가이므로 2w(원)이고 2017년 매출액은 다시 8배 증가이므로 16w(원)이 된다. 결국, 이 회사는 최근 2년간 총 16배의 매출액 증가가 있었던 것이다.

이번에는 이 회사의 매출이 평균 x배 증가했다고 매출액을 계산해 보자.

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2016년 매출액은 평균 x배 증가이므로 xw(원)이고 2017년 매출액도 평균 x배 증가이므로 x²w(원)이 된다. 결국, 이 회사는 최근 2년간 총 x²배의 매출액 증가가 있었던 것이다.

x²이 16이 되는 x값은 4가 된다. 즉 전년대비 2배와 8배에 대한 평균은 4배이다. 
여기서 평균 4배는 x²= 16 =2 X 8 을 만족하는 x값으로 아래와 같이 계산된 것이다.

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이와 같이 직전 값을 기준으로 한 성장률 a(배), b(배)에 대한 평균은 와 같이 계산하며, 이를기하평균’이라 부른다. 인구성장률, 금리인상률 등의 평균문제가 여기에 해당한다.  

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다음 두 번째 사례를 소개한다.

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여러분들의 생각은 어떠한가. 24m/s? 25m/s ?

이번 문제는 동일한 거리상의 평균속력을 구하는 사례로, 위에서 평균점수(산술평균)를 구하였던 방법으로 계산하면 평균 25m/s = (20 + 30) / 2 가 되지만, 이를 시뮬레이션 한 결과 평균 속력 25m/s로 달린 자동차가 먼저 도착한다. 즉, 이 값은 평균 속력이 아니다.

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그렇다면 평균속력은 몇 m/s인가?

우선 동일한 두 지점의 일정한 거리를 S m, 평균속력을 x m/s 라고 하자. 
분명한 것은 평균 x m/s 로 왕복한 자동차와 20m/s, 30m/s 로 왕복한 자동차의 도착시간이 같아야 한다는 것이다.

시간 = 거리 / 속력 이므로,
평균 x m/s 로 왕복한 자동차의 도착시간 A = (2S / x )
20m/s, 30m/s로 왕복한 자동차의 도착시간 B = (S / 20) + (S / 30)

A와 B는 같아야 하므로 (2S / x) = (S / 20) + (S / 30) 을 만족하는 값, 즉 24m/s가 평균 속력이다.

평균속력 24m/s에 대하여 시뮬레이션하면 두 자동차가 함께 도착함을 볼 수 있다.

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여기서 평균 24m/s는 아래와 같이 계산되었다.
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이와 같이 동일한 거리에서 속력 a m/s와  b m/s에 대한 평균 속력은 2ab / (a+b) 와 같이 계산하며, 이를 '조화평균' 이라 부른다. 속력, 병렬 연결된 전기회로의 저항에 대한 평균 문제가 여기에 해당한다.

지금까지의 사례로 살펴본 평균의 종류에는 세 가지가 있다.

두 값 a, b에 대하여 가장 일반적으로 널리 쓰이는 산술평균 (a+b)/2, 성장률에 사용되는 기하평균 √ab, 
속력이나 전기저항에 사용되는 조화평균 2ab / (a+b)이 있었으며, 이들은 다음과 같은 관계가 성립한다.

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따라서 일상생활 중에 성장률이나 속력과 같은 평균을 산술평균으로 잘못 계산하면 손해가 발생할 수 있다.


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A회사의 연봉인상안은 단순히 산술적으로 평균을 구하면 (8+32)/2 = 20%로 계약조건을 충족한 것으로 보인다. 하지만 이것은 어디까지나 산술적인 계산이다. 즉, 산술평균으로 계산된 결과이다. 

그러나 연봉인상과 같은 성장률의 평균은 기하평균으로 계산되어야 하며, 그 값은 1.194배가 된다.

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즉, H군은 2년간 평균 19.4% 인상된 연봉으로 계약조건보다 적게 받은 것이다.
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‘산술평균≥기하평균’에서 등호가 성립하는 관계(a=b)를 생각한다면, 2년간 20%로 일정하게 연봉인상을 받는 것이 유리하다.   
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그럼에도 불구하고 A회사가 (8+32)/2 = 20% 이므로 평균 인상률이 적절하다고 주장하면 어찌해야할까? 회사 측의 제안 8% → 32%를 32% → 8%로 인상률의 순서를 바꿔달라고 요구해보자. 어차피 그들의 논리대로라면 (32+8)/2 = 20% 역시 동일한 평균값이니 말이다.

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마지막으로 속도 위반 사례를 살펴보자.
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과속통지서의 주장처럼 단순히 산술적으로 평균을 구하면 (84+118)/2 = 101 km/h 이므로 과혹에 해당한다. 하지만 이 것 역시 어디까지나 산술적인 계산이다. 즉, 산술평균으로 계산된 결과이다.

속력에 대한 평균은 조화평균으로 계산되어야 하며, 그 값은 2 X 84 X 118 / (84 + 118) = 약 98.14 km/h로 규정 속도를 초과하지 않았다.


이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 작가의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.   

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