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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

정팔면체와 정사면체를 결합한 다면체의 면의 개수는?

3차원은 우리가 살고 있는 공간으로 매우 친숙하기도 하지만, 이 공간을 잘 이해하고 구성하여 바라볼 수 있는 사람은 생각보다 그리 많지 않다. 그러함에 입체도형은 다양한 위치에서 관찰하는 과정이 필요하다. 다음 입체도형에 대한 단계별 문제로 여러분들의 공간지각능력에 대한 직관력을 테스트해보자.

 




















1단계 문제는 쉽게 풀었으리라 생각한다.



정사면체는 정삼각형 모양의 면이 4개로 구성되어 있다. 그런데 두 개의 정사면체를 서로 맞붙이면, 맞붙는 2개의 면으로 인하여 오히려 면의 개수는 줄어든다. 따라서 결합된 다면체의 면의 개수는 4+4-2=6개다.

 


















2단계 문제 역시 조금만 생각해보면 무난하게 풀었으리라 생각한다.



정육면체는 정사각형 모양의 면이 6개로 구성되어 있다. 여기서 두 개의 정육면체를 서로 맞붙일 때, 결합된 다면체의 면의 개수를 앞선 방법으로 6+6-2=10개로 세면 안 된다. 맞붙은 정육면체의 옆면들이 모두 평행한 하나의 면이기 때문이다. 따라서 정육면체 두 개를 결합한 다면체의 면의 개수는 여전히 6개다.

 





이제 본격적으로 어려운 문제에 도전해보자!!




문제의 이미지 구성이 어려우면 다음 그림을 참고하여 풀어보자.

















정사면체는 면의 개수가 4개(정삼각형), 정사각뿔은 면의 개수가 5개(정삼각형4개, 정사각형1개)로 구성되어 있다. 그렇다고, 위의 1단계 문제처럼 맞붙은 면의 개수 2개만 공제한 4+5-2=7개로 세면 안 된다. 여러 위치에서 살펴보면 2단계 문제와 같이 평행한 면이 있기 때문이다.


 



다음으로 위의 애니메이션의 찍은 스냅 샷을 살펴보자. 이 스냅 샷은 정사면체의 꼭지점을 내려다보며 찍었는데, 화살표 방향으로 서로 평행한 부분이 두 곳 보인다. 따라서 이 부분에 대한 면의 개수는 2개가 아닌 1개로 세어야 한다.





그러므로 정사면체와 정사각뿔을 결합한 다면체의 면의 개수는 4+5-2=7개가 아닌, 4+5-2-2=5개다. 이는 빨대를 이용하여 손쉽게 만들어 볼 수 있으며, 3D프린터로 제작하여 확인해 볼 수도 있다.





 

  1단계부터 3단계 문제까지 잘 이해하였다면 마지막 4단계 문제도 충분히 풀어낼 수 있을 것이다.



 


 

문제의 이미지 구성이 어려우면 다음 그림을 참고하여 풀어보자.


 












정사면체는 면의 개수가 8개(정삼각형), 정사면체는 면의 개수가 4개(정삼각형)로 구성되어 있다. 여기서 결합된 다면체의 개수는 총 12개에서 맞붙은 면의 개수 2개를 빼고, 서로 평행한 면의 개수를 추가로 빼주어야 한다.



 

그렇다면, 이번에는 평행한 부분은 몇 개가 있을까? 



정사면체는 면의 개수가 8개(정삼각형), 정사면체는 면의 개수가 4개(정삼각형)로 구성되어 있다. 여기서 결합된 다면체의 개수는 총 12개에서 맞붙은 면의 개수 2개를 빼고, 서로 평행한 면의 개수를 추가로 빼주어야 한다.

 



그렇다면, 이번에는 평행한 부분은 몇 개가 있을까? 



그러므로 정팔면체와 정사면체를 결합한 다면체의 면의 개수는 8+4-2-3=7개다.

 






 


이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.


바로가기

정사면체+정사각뿔, 정팔면체+정사면체 실험문서

정사면체+정사각뿔, 정팔면체+정사면체 3D프린팅 출력물

정사면체+정사각뿔, 정팔면체+정사면체 문제의 수학적 증명

  

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