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모두의 수학

우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

체스판을 도미노로 덮을 수 있을까?

체스판1

 

 

 

 

 

 

 

 

[정답]

이 문제는 수학에서 같은 모양의 도형으로 평면을 채울 수 있는가를 해결하는 ‘타일링 문제’이다. 정사각형의 양쪽 귀퉁이를 잘라낸 체스판을 빈틈없이 도미노로 채울 수 있는가를 묻는 문제이다. 이때 도미노는 가로와 세로 상관없이 채울 수 있으나, 겹치거나 빈틈이 있는 곳이 있으면 안 된다. 우리가 일상생활에서 화장실이나 주방에서 볼 수 있는 타일을 생각하면 이해하기 쉽다.

 

도미노는 정사각형 2개로 이뤄져 있고, 양쪽 귀퉁이가 잘린 체스판은 정사각형 62개로 이뤄져있다. 언뜻 생각하기에는 도미노를 이리저리 체스판 위에 놓으면 체스판을 다 덮을 수 있을 것 같다. 그런데 결론부터 말하자면, 도미노를 체스판 위에 어떻게 놓아도 빈틈없이 양쪽 귀퉁이가 잘린 체스판을 덮을 수 없다. 왜 그럴까.

 

8×8 체스판의 대각선으로 마주 있는 두 개의 정사각형을 잘라냈으므로, 잘려진 체스판에서 흰색 정사각형은 32개, 검은색 정사각형은 30개이다. 도미노 하나는 가로, 또는 세로로 체스판을 채우더라도 항상 검은색 하나와 흰색 하나를 덮게 된다. 그런데 체스판은 흰색 칸이 2개 더 많다. 따라서 도미노로 대각선 양쪽 칸이 잘린 체스판을 덮을 수 없다.

 

 

 

 

 

 

 

*도전문제

이번에는 8×8 체스판에서 임의로 두 개의 정사각형을 제외하기로 하자. 이때 두 개의 정사각형은 하나는 흰색이고, 나머지는 검은색이어야 한다. 위치와 상관없이 흰색 하나, 검은색 하나를 제외한 8×8 체스판을 정사각형 두 개로 연결한 도미노로 덮을 수 있을까?

(단, 도미노란 체스판을 이루는 정사각형과 크기가 똑같은 정사각형 2개를 연결한 것으로, 도미노의 개수는 충분히 주어져 있다고 가정한다.)

  체스판2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[정답]

우선 문제 풀이를 위해 8×8체스판에서 모든 칸을 한 번만 지나는 경로를 다음 그림과 같이 그릴 수 있다.

 

체스판3

 

그런 다음, 아래 그림과 같이 임의로 흰색 한 칸, 검은색 한 칸을 지운다. (붉은 칸으로 표시했으며, 흰색과 검은색 칸은 다른 어느 위치여도 상관없다.) 이렇게 두 개의 칸을 지운 체스판을 도미노로 빈틈없이 덮을 수 있을까? 결론부터 말하면 덮을 수 있다.

 

임의로 두 개의 칸을 제외(각각 흰색과 검은색)하면 위에서 그린 경로는 2개로 나뉜다. 이때 각각의 경로에는 정사각형이 모두 짝수개가 들어있고, 흰색과 검은색 칸의 개수가 똑같이 들어있다. 따라서 체스판에서 임의로 흰색과 검은색 칸을 하나씩 제외하더라도 도미노로 빈틈없이 덮을 수 있음을 알 수 있다.

 

 

체스판4

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