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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

[아직도 해결 못한 사칙연산 ①] 3n+1 문제

3n+1문제_1

 

인류의 문명에서 ‘수학’이 시작된 이후, 처음으로 사용한 수와 계산은 자연수와 사칙연산(+,-,x,÷)이라고 해도 과언이 아니다. 그만큼 오랜 역사 속에서 많은 수학자들은 이를 활용한 여러 가지 문제를 제시하고 풀어내는 과정이 되풀이되었다.

 

그럼에도 불구하고, 아직까지 풀어내지 못한 수학적 문제들이 상당하다. 흔히 ‘미해결문제’라고 불리는 이 문제들을 대부분의 사람들은 ‘페르마의 마지막 정리’와 같이 상당히 난해하고 전문적인 문제일 것이라고 생각하지만, 실제는 그렇지 않은 아주 단순한 사칙연산 수준의 미해결문제도 남아있다. (물론, 페르마의 정리는 증명되었다.)

 

 

3n+1 문제

자연수 n이 짝수이면 n÷2, 홀수이면 3n+1을 계속하면 그 값은 항상 1이 된다.

 


보는 바와 같이 사칙연산(+,-,x,÷)만 활용된 문제다.

간단한 수 35로 확인해보자.

 

 단계

 n

홀짝

 계산과정

 1단계

35  홀수 35+1=106 

2단계

 106

짝수

 106÷2=53

 3단계

 53  홀수  3×53+1=160

 4단계

 160

짝수

 160÷2=80
 5단계  80 짝수 80÷2=40 

 6단계

 40

짝수

40÷2=20 

 7단계

 20  짝수  20÷2=10

 8단계

 10

 짝수

 10÷2=5

 9단계

 5  홀수 5+1=16 

 10단계

 16

 짝수

 16÷2=8
 11단계  8 짝수 8÷2=4 
 12단계  4

짝수

4÷2=
 13단계  2

짝수

2÷2=1 

위의 계산과정에 대한 흐름은 다음과 같다.

  3+n문제_1

 

 

 

 

 

실험1. 다른 자연수들에 대해서도 성립할까? 3부터 100까지 확인해보자!!

 

실험1

 

위의 결과로부터 자연수 1부터 100까지의 ‘3n+1 문제’는 성립함을 확인하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


실험2. 좀 더 큰 자연수들에 대해서도 성립할까? 2000부터 2030까지 확인해보자!!

 

 실험2

 

위의 결과로부터 자연수 2000부터 2030까지의 ‘3n+1 문제’ 역시 성립함을 확인하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

실험3. 상당히 큰 자연수에 대해서도 성립할까? 임의의 전화번호 8자리 숫자(8026-6836)에 대해서 확인해보자!!

 

실험3

 

지금까지 ‘3n+1 문제’의 성립여부를 자연수 ‘1부터 100까지’, ‘2000부터 2030까지’ 그리고 상당이 큰 자연수 ‘80266836’에 대해서 성립한다는 것을 확인하였다. 이외에도 임의의 큰 자연수들에 대해서 수많은 시도를 해본 결과 역시 성립하였다.   

 

그렇다고 모든 자연수에 대해서 성립한다고 말할 수 있을까?

 

그렇지 않다!!
비록 지금까지 시도한 자연수들에 대해서는 성립하였지만, 그 이외의 확인하지 못한 자연수들이 더욱 많기 때문이다. (실제, 자연수의 개수는 무한개다.) 따라서 지금처럼 n값을 대입해가며 확인해나가는 ‘직접 증명방법’으로는 해결할 수 없다. 이러한 경우 수학에서는 귀류법, 수학적 귀납법 등 다양한 ‘간접 증명방법’을 활용한다. 하지만, 아직까지 이 문제는 증명되지 못하였다. ■




 


[더 알아보기]
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.

 

[바로가기]
미해결문제 ‘3n+1’ Problem 실험(임의의 큰 자연수에 대한)

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