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[아직도 해결 못한 사칙연산②] 슈어의 덧셈 상자

슈어의 덧셈 상자_타이틀

 

덧셈은 만만하다!?

여러분들이 덧셈만큼은 자신이 있을 것으로 이해하고 ‘쉽지만 결코 쉽지만은 않은’ 퍼즐을 소개한다.

 

우선, 쉬운 단계의 퍼즐에서 시작하자.

 

 

 

2 Box Puzzle
두 개의 상자에 숫자를 나누어 담는다.
숫자는 1부터 x까지의 자연수를 순서대로 담는다.
이때 같은 상자 안에 서로 다른 두 수의 합이 포함되지 않고 최대한 많은 수를 담는
자연수 x를 찾아라!!

 

 

 

 

문제의 이해를 돕기 위해서 다음의 예시를 살펴보자.

 

슈어의 덧셈 상자_1

 

이제 퍼즐의 규칙을 이해하였다면, 2 Box Puzzle의 정답을 찾아보자!! 최대한 담는 자연수 x는 무엇인가?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답 : 8개
 
9=1+8=3+6 이므로 더 이상 A, B에 담을 수 없다.

슈어의 덧셈 상자_2

 

덧셈에 대한 몸풀기(?)가 끝났으니, 이제 본격적으로 3 Box Puzzle을 풀어보자!!

 

 

 

 

 

 

3 Box Puzzle
세 개의 상자에 대하여, 
같은 상자 안에 서로 다른 두 수의 합이 포함되지 않도록 최대한 많은 자연수를 담아라!!

 

 

 

슈어의 덧셈 상자_3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답 : 23개
 
24=2+22=3+21=10+14이므로 더 이상 A, B, C에 담을 수 없다.
  

슈어의 덧셈 상자_4

 

 

이쯤 되면, 4 Box Puzzle을 생각하고 있는 독자들이 있을 것이다. 하지만 4 Box부터는 손 계산으로 찾아내기가 결코 쉽지 않다. 설령 찾았다고 하여도 그것이 최대로 담은 자연수가 맞는지도 확신할 수 없다. 어쩌면 여러분들은 3 Box Puzzle에서의 정답(23개)을 보며 ‘이보다 많이 담을 수 있는 방법이 있을 법도 한데...’라는 생각에 더 찾아보았을지도 모른다.  
 
1916년 수학자 Schur가 제시한 이 문제는 2 Box = 8개, 3 Box = 23개, 그리고 4 Box Puzzle의 정답은 66개인 것으로 밝혀졌으며, 다음과 같이 조합이 이루어진다.

 

덧셈상자5

 

그러나 5 Box 및 그 이상에 대해서는 아직 명확하게 밝혀진 바가 없는 미해결 상태이다. 다만, 현재까지 발견된 조합은 5 Box = 196개, 6 Box = 572개 이므로 그 이상일 것이라 추측하고 있으며, 7 Box 부터는 더 이상 알려진 바가 없다. ■

 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.

 

바로가기
○ 미해결문제: 슈어(Schur)의 덧셈상자 실험실

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