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색칠된 도형의 넓이를 분수로 나타내면?

분수로 나타내기_0

 

[풀이]

전체에 대한 부분을 나타내는 수를 ‘분수’라고 한다. 위의 그림에서 색칠된 삼각형의 부분을 분수로 나타내려면, 전체 정사각형의 넓이와 색칠된 삼각형의 넓이를 구해야 한다.

그림을 유심히 살펴보면 색칠된 삼각형과 닮은 작은 삼각형 하나를 더 찾을 수 있다. 두 삼각형이 닮은 삼각형임을 찾는 것이 문제 풀이의 시작이다.

 

 

 

분수로 나타내기_1

 

 

위의 그림에서 녹색 삼각형과 아래의 파란색 삼각형은 서로 닮음 삼각형이다. 세 각의 크기가 모두 같기 때문이다. 아래 그림과 같이 맞꼭지각으로 검은색 각의 크기가 같고, 엇각에 의해 빨간색 각, 노란색 각의 크기가 같기 때문이다. 그리고 녹색 삼각형과 파란색 삼각형의 닮음비는 녹색 삼각형의 변의 길이가 정사각형 변의 길이의 절반이므로, 1:2가 된다.

 

 

 

 

분수로 나타내기_2

 

 

이제 문제의 절반은 해결했다. 두 삼각형이 닮음비가 1:2라는 사실을 이용해 높이를 문자를 이용해 식을 세워보자.

 

 

 

 

분수로 나타내기_3

 

 

녹색 삼각형의 높이를 h, 파란색 삼각형의 높이를 2h라 할 수 있다. 그러면 정사각형의 한 변의 길이는 h+2h=3h가 된다.

 

분수로 나타내기_4

 

 

 

 

 

 

 

*도전 문제

빨간색 삼각형 부분을 분수로 나타내면 얼마일까? (단, 팔각형은 정팔각형이다.)

 

 

 

분수로 나타내기_5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[풀이]

이 문제는 식을 세우지 않고도 쉽게 풀 수 있다. 정팔각형을 아래 그림과 같이 8개의 똑같은 삼각형으로 나눠보자.

 

 

 

 

분수로 나타내기_6

 

 

 

 

 

 

정팔각형을 8등분한 노란 삼각형과 빨간색 삼각형을 비교해 보자. 밑변의 길이는 같고 높이가 2배라는 걸 알 수 있다. 빨간색 삼각형의 넓이는 노란 삼각형의 넓이의 2배이다.

 

분수로 나타내기_7

 

 

 

 

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