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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

최악의 전염병 확산 가상 시나리오, 인류의 생존 타임은?

전염병_01 

 

최근 우리나라는 아프리카돼지열병(African Swine Fever, ASF)의 방역에 온 힘을 쏟고 있다. 이 바이러스는 돼지 과에 속하는 동물에게만 전염되지만, 치사율이 거의 100%에 육박하기에 축산업에 엄청난 피해를 준다. 하여 사람들은 돼지열병을 돼지흑사병이라 부르기도 한다.

 

 


조류독감(AI)과 돼지열병(ASF)

 

그래도 다행인 것은 이 바이러스들은 아직까지 사람들에게 전파되지 않는다. 많은 사람들은 2015년 메르스(MERS) 사태를 기억할 것이다. 낙타와의 접촉 때문에 감염이 되고, 또 감염된 환자와의 밀접 접촉으로 전파가 되어 보건의학이 발달하지 않은 나라에서는 치사율이 약 20% 수준까지 이른 전염병이다. 이외에도 신종플루, 사스, 에볼라 등과 같이 생존을 위협하는 여러 전염병들이 있었지만, 지금까지는 인류가 잘 버텨왔다.

 

 

 

그런데 만약, 머지않은 미래에...
사람에게 전파되는 최악의 전염병이 창궐한다면 인류의 운명은 어떻게 될까?

 

 

 

 

이에 대한 실험을 위하여 「전염병 역학(Epidemiology)」 의 가장 기초가 되는 SIR 모델로 가상실험을 해보자. SIR 모델은 1918년, 2년 동안 4,000만 명의 사망자를 낸 스페인 독감을 계기로 1927년 개발된 전염병 역학 모델이다. 이 모델은 홍역, 결핵 등과 같이 많은 인구가 걸리는 질병을 다룰 때는 결정론적인 수학적 모델을 사용한다. 이런 모델에서는 전체 인구를 감염 가능성이 있는 사람(Susceptible), 감염된 사람(Infected), 회복된 사람(Recovered)으로 대상을 나눠 각 조건에 따라 질병이 얼마나 확산될지 예측하는 것으로 위의 세 그룹의 이동은 미분방정식으로 표현된다. 다만, 저자는 이 모델에 치사율을 반영하여 사망한 사람(Died)의 그룹을 하나 더 추가하였다.

 

 

전염병_02

 

 

위의 SIR Model을 수학(미분방정식)으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

전염병_03

 

※ 이 방정식에 대한 이해는 저자가 운영하는 수학생각 사이트 자료실에 탑재된 내용을 참고하자.

 

 

이제, 머지않은 미래에 인류를 위협하게 될 전염병에 대한 최악의 가상 시나리오를 설정해본다.


 

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"전염병 가상 시나리오"


2139년, 전 세계 인구 100억 명. 어느 날, 원인을 알 수 없는 정체불명의 바이러스에 1명이 최초 감염되었다. 이 바이러스는 잠복기 없이 바로 증상이 나타나며, 현재 세계적으로 이에 대한 치료제 개발을 연구 중이나 최소 100일은 소요될 것으로 보인다. 다행히도 감염 발생 첫날, 이 사실을 알게 된 세계보건기구는 하루 평균 2명 이상의 사람들과의 밀접 접촉을 금지하고 있다. 이 바이러스는 인체 내에서 20일 동안 활동하다가 이후에는 자연 소멸하며, 감염된 자들은 기간 중 자연 치유되거나 혹은 사망하는 특이 양상을 보이는데, 현재까지 치사율 70%로 보고되고 있다. 이것에 대한 면역력을 갖춘 특이 체질은 전체 인구의 10%에 불과하다는 것이 현재의 연구에 대한 보고이다. 치료제가 개발되기 전(100일 기준), 인류의 운명은 어떻게 될 것인가?

 

 

 

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위의 시나리오에 따르면, 해당 바이러스의 치사율(δ)은 0.7, 감염 기간(duration)은 20일, 감염 기간 중의 접촉횟수(γ)는 1명×20일=20명이며, 초기 면역자의 비율은 0.1, 초기 감염자 비율은 100억 분의 1. 즉, 10-10 인 상황이다. 이를 SIR 모델에 대한 미분방정식에 대입하여 그래프를 그려보면 아래와 같다.

 

 

그래프

 

 

 

그래프를 확대해서 살펴보면 다음과 같다.

 

 

 

그래프1

 

 

위 그래프는 시간(일)의 경과에 따른 분포를 보여준다. 최종적을 100일 후 각 집단에 대한 비율은 취약인구는 s(100)=2.13×10-8, 감염인구는 i(100)=0.0221, 회복인구는 r(100)=0.263, 사망인구는 d(100)=0.615 의 분포 비율을 나타낸다.

 

 

 

 

100일 후,


감염 취약인구100억×2.13×10-8=213명, 감염된 상태의 인구100억×0.0221=2,210만 명에 불과하다. 이것은 전체 인구에 이미 감염이 전파되어 생사의 모든 상황이 끝났음을 의미한다. 사망한 인구는 무려 100억×0.615=61억5천만 명(전체 인구의 61.5%)에 이르며, 회복한 생존인구는 겨우 100억×0.263=26억3천만 명(전체 인구의 26.3%)일 뿐이다. 결국, 단 한 명의 전염병 감염으로부터 100일 만에 인류의 60% 이상이 전멸한 것이다.


하지만, 이것도 이상적인(?) 시나리오에 불과하다. 정말 사람들이 하루에 단 한 명만 접촉할 수 있을까? (이는 사람들이 20일의 감염 기간 동안 총 20명과 접촉하였음을 말한다.)

 

 

 

 

 

동일한 상황에서 사람 총 접촉횟수를 20명에서 100명으로 바꾸어 설정하면 어떻게 될까? 사람 접촉횟수를 변경하여 살펴보면 상황이 종료되는 시점이 급격히 빨라진다.

 

 

그래프2

 

 

단 6일.일주일도 채 안 되어 전체 인구의 88.2%가 감염이 이루어진 상태다.
☞ 계산과정은 전체 인구(100%)-초기면역 자(10%)-감염 취약인구(1.8%)=88.2%와 같다.

결국, 시간이 조금만 흘러도 인류는 손 쓸 틈도 없이 며칠 만에 전 세계 인구의 88.2%가 감염되고 50일도 채 안 되어 60% 사망이라는 인류의 대재앙에 이르게 된다.

 

 

 


 

영화 같은 극적인 반전은 없을까?

 

쉽지 않은 일이지만, 인류가 문명을 지켜낼 수 있는 약간의 시간이 있다. 바로 골든타임이다.

 


그래프3

 


위의 그래프를 보면, 최초 발병 후 4일째까지는 감염인구가 많지 않다.
감염 취약인구89.4%실제 감염이 이루어진 인구의 비율은 0.6% 수준에 불과하다.
바로 이 4일간의 시간이 골든타임이다. 이 기간이 넘어가면 감염자 수의 비율은 하루가 다르게 폭발적으로 늘어나서 6일째 감염자의 비율이 88.2%까지 이르게 된다.

 

 

 

 

 

초기방역

 

이러한 연유로 사람이든 가축이든 전염병이 창궐했을 때, 초기방역이 그 무엇보다 중요한 이유가 바로 여기에 있다. 2015년, 메르스 사태의 경우 안일한 초기 대응으로 우리 사회가 얼마나 혼란스러웠는가? 최근의 돼지열병의 경우에도 좀 더 선제적이고 보수적인 초기방역체계 구축이 강조되고 있는 이유이다.

 

 

 

 

 


미래 인류와 문명의 최대 위협 요소  

 

빌 게이츠는 우리 인류와 문명을 위협할만한 최대 요소로 ‘핵’과 ‘소행성 충돌’이 아닌, ‘전염병(바이러스)’을 꼽았다. 핵은 이미 전 세계인이 이에 대한 경각심을 갖고 견제의 노력을 하고 있으며, 소행성 충돌은 그 확률이 희박하기 때문이다. 그러나 정체 모를 바이러스에 의한 전염병 확산은 오랜 역사 속에서부터 현재에 이르기까지 끊임없이 발생하고 있다. 중세시대의 흑사병에서부터 20세기 초 스페인 독감. 그리고 근래의 사스, 에볼라 등 새롭게 발생되는 전염병들로 생존을 위협받으며 살아왔다.

 

 

“어쩌면 우리는 운이 좋았던 것입니다.”

  

 

빌 게이츠가 “The next outbreak? We are not ready!!”라는 TED 강연을 통하여 남긴 말이다. 그의 말처럼 우리 인류는 어쩌면 지금까지는 운이 좋았던 것인지도 모른다. ■

 

전염병_동영상_섬네일

https://www.ted.com/talks/bill_gates_the_next_disaster_we_re_not_ready?language=ko

 

 

 

 


 

 

[더 알아보기]

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.


[바로가기]

전염병 SIR 역학 가상실험
전염병 SIR 역학의 이해를 위한 학습자료

 


 

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