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「2는 1과 같다?」는 모순 파헤치기 2탄

 

2는1과같다_2_0


 

 

이번에는 고대 그리스 철학자이며 수학자였던 ‘아리스토텔레스’가 만들어 낸 원에 대한 패러독스다.

 

 

 


아리스토텔레스의 원
「2는 1과 같다?」는 모순 논리  

 


반지름의 길이가 2큰 원1작은 원이 있다. 이때 두 원의 중심을 일치시킨 후, 한 바퀴 굴려보자. 분명, 큰 원이 한 바퀴 구를 때 작은 원도 한 바퀴 구른다.

 

2는1과같다_2_1


 

즉, 큰 원(R=2)과 작은 원(r=1)이 굴러간 길이는 같다. 이를 계산식으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

 

큰 원이 굴러간 길이 = 큰 원의 둘레의 길이 = 2πR =    
작은 원이 굴러간 길이 = 작은 원의 둘레의 길이 = 2πr =  

 

=     ∴ 2=1

 

 

 

그러므로 「2는 1과 같다.」

 

 

 

 

 

 


어디에 모순이 있는 것일까?

 

 

 

어디서부터 모순을 찾아야 할지 막막하기도 하며, 궁금한 부분들에 대한 질문도 있을법하다.

 

 

 

 

궁금증 #1
큰 원이 한 바퀴 구를 때, 작은 원도 한 바퀴 구른 것이 맞을까?

 

 

2는1과같다_2_2

 

 

맞다. 중심을 일치시킨다면 분명한 사실이다. 이는 주변에 있는 도구로  확인해 볼 수 있다. 가장 쉬운 방법으로 원의 모양을 가진 접시로 실험해보자. 접시에 중심을 찍고, 그 안에 접시의 반지름의 절반만큼의 원을 그려놓자. 그리고 접시(큰 원)를 한 바퀴 굴려보면, 그 안에 그려놓은 작은 원도 한 바퀴 굴렀음을 확인할 수 있다. 

 

 

 

 

 

 


궁금증 #2
큰 원의 중심에 묶여 함께 구른 작은 원이 한 바퀴 굴러간 길이는 인가? 인가?

 

가 맞다. 하지만, 이 부분에 여전히 의구심(?)이 생길 것이다. 차근차근 생각해보자. 

일반적으로 「반지름이 r인 하나의 독립된 원이 한 바퀴 구른 길이 = 원의 둘레의 길이 = 2πr」 이다. 따라서 만약, 두 원의 중심을 함께 고정시키지 않고 각각 한 바퀴씩 굴렸다면, 두 원이 구른 길이는 아래의 계산이 맞다.

 

 

2는1과같다_2_3

 

 

그러나 두 원의 중심을 고정시켜 놓으면 상황이 달라진다.

 

만약, 두 원의 중심을 함께 고정시켜 놓고 큰 원을 한 바퀴씩 굴렸다면, 작은 원큰 원에 종속되어 똑같이 한 바퀴 굴러가게 되며, 이 경우 작은 원이 굴러간 길이는 가 아닌 다.

 

 

 

 

 

 

 


궁금증 #3
작은 원이 한 바퀴 구를 때 굴러가는 길이는 인데, 어떻게 로 늘어날 수 있을까?

 

중심이 같은 큰 원작은 원 위의 모든 점들은 일대일 대응관계를 갖고 있기 때문에 가능하다.

 

2는1과같다_2_4


 

두 원의 중심 O로부터 그은 선분은 작은 원큰 원에 각각 교점 P1-Q1, …, P2-Q2, …, P3-Q3, …,  P4-Q4, … 을 만들며, 일대일 대응관계를 형성한다. 따라서 작은 원을 구성하고 있는 모든 점들은 길이가 이기는 하지만, 길이가 인 큰 원 위로 옮겨갈 수 있다. 

 

아래의 그림은 작은 원큰 원을 펼쳐놓은 두 선분 위의 모든 점들이 서로 일대일 대응관계를 형성하는 모습이다.

 

2는1과같다_2_5


 

 

두 선분의 양 끝점을 연결하여 만나는 점을 O라 하고, 이 점으로부터 길이가 2π인 선분 위의 모든 점들을 길이가 인 선분 위의 점으로 하나씩 대응시켜갈 수 있다. 즉, P1-Q1, …, P2-Q2, …, P3-Q3, …,  P4-Q4, … 등과 같이 길이가 다른 두 선분 위의 모든 점들은 서로 일대일 대응된다. 즉, 작은 원은 홀로 구르면 파란색 선만큼 굴러가나, 큰 원에 묶임으로 빨간색만큼 확장해 굴러가게 된다.

 

여기서 주의해야 할 것은 이 문제의 본질은 원의 둘레를 구하는 것이 아니라 원이 지나간 궤적을 구하는 것으로 자취를 나타내는 선분을 구하는 것이다. 또한, 두 개의 원의 중심을 겹쳐 돌아가는 상황에서 작은 원이 굴러간 길이를 구할 때 결국 필요한 값은 작은 원의 지름은 전혀 아니고, 큰 원의 지름이라는 것이다.

 

 

이와 같은 이유로, 작은 원은 큰 원과 함께 똑같이 한 바퀴를 굴러가며 길이가 4π인 자취를 만들어 낸다. 아리스토텔레스 원 「2는 1과 같다?」의 모순은 작은 원은 어떠한 경우라도 한 바퀴 구를 때의 길이가 2π라는 생각에서 발생한 잘못된 결론이다. ■

 

 

 

 

 

 

 

[더 알아보기]
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.  


[바로 가기]
「2는 1과 같다?」 : 아리스토텔레스의 원 실험해보기

 

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