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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

100!의 수의 끝에는 0이 몇 개 있을까?

0의 개수_0

 

 

[풀이]

수학 문제에서 이런 유형을 종종 볼 수 있다. 엄청나게 큰 수, 또는 아주 복잡해 보여서 감히 손을 쓸 수 없을 것 같은 문제 말이다. 큰 수 또는 복잡한 수식을 포함한 수학 문제는 대부분 직접 계산하라는 의도가 아니다. 어떤 규칙이나 아이디어를 통해 문제를 해결하라는 의도가 담겨있다. 아마도 수학 퍼즐을 즐기는 사람이라면 이런 문제가 익숙할 것이다.

 

이 문제 역시 100!이란 수는 웬만한 계산기로도 감당하지 못하는 큰 수이므로, 규칙이나 아이디어를 통해 해결해야 한다. 먼저 팩토리얼, 또는 계승이라고도 불리는 수학 기호 ‘!’의 약속을 정확하게 이해해야 한다. 100!은 1부터 100까지의 자연수를 곱한 값이다.

 

‘이 수의 끝에 0이 몇 개가 있을까?’라는 질문을 다르게 풀어보면 ‘10으로 몇 번 나눌 수 있을까?’를 묻는 것과 같다. 10으로 한 번 나눌 수 있다면 수의 끝에 0이 하나가 있을 것이다. 만약 10으로 두 번 나눌 수 있다면, 즉 100으로 나눌 수 있다면 수의 끝에 0은 두 개가 있을 것이다.

 

100!의 수에 ‘10’이 몇 번 있을까를 따져보자면, 다음과 같이 먼저 생각할 수 있다. 1부터 100 사이에 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. 10이 모두 11개(100에는 10이 두 번 들어 있다.)가 들어있다.

 

그런데 10은 10의 배수 안에만 있을까? 그렇지 않다. 10의 배수는 위의 10개밖에 없지만 1부터 100까지의 수를 모두 곱하는 과정에서, 10=2×5이므로 2와 5의 곱을 통해서도 10을 만들 수 있다. 그러니 100!에 5가 몇 개, 2가 몇 개 들었는지를 찾아야 하는데, 사실 2가 몇 개 들었는지는 구할 필요가 없다. 쉽게 생각해 보아도 5보다 2는 훨씬 더 많이 들어있다. 따라서 100!이라는 수에 5가 몇 개 들었는지 구하면 된다. 5의 배수는 다음과 같다.

 

 

0의개수_1

 

 

25, 50, 75, 100에는 5가 2개 들어있고, 나머지 5의 배수에는 5가 1개 들어있다. 따라서 5는 모두 24개 들어있다. 앞서 10의 배수는 5의 배수에 모두 포함된다. 따라서 100!의 수의 끝자리에 있는 0의 수는 24개이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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★도전문제!

200! 수의 끝에는 0이 모두 몇 개 있을까?

 

 

 

 

 

 

 

정답 : 위의 문제와 마찬가지로 200!이란 수를 곱셈으로 분해했을 때, 5가 몇 개 들었는지 찾으면 된다. 자연수 1부터 200 사이에 5의 배수는 모두 40개, 이 중에서 25, 50, 75, 100, 150, 175, 200은 5가 두 개 들어있고, 125는 5가 3개 들어있다.

 

따라서200! 수의 끝에는 0이 49개가 있다.

 

 

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