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과학을 통해 수학적으로 생각하는 힘을 길러봅니다.

시계 속의 수학

우리가 매일 보고 있는 시계에도 수학이 있을까요?
우리가 아침에 눈을 뜨자마자 보는 것이 시계이죠. 이런 시계에도 수학이 숨어 있는지 알아볼까요? 여러분들은 시계에 있는 숫자를 통해서도 시계가 수학과 관련이 있다고 생각할 거예요. 이번 시간에는 선생님과 함께하는 시계에 어떤 수학이 있는지 알아보기로 해요.




시계 속에 있는 숫자
우리는 일상생활 속에서 수를 쓸 때 지난 시간에 배운 아라비아 숫자를 생각해 보면 10개의 수를 사용해서 나타내고 9 다음에는 새로운 자리값을 갖는 10을 사용하는데 이런 것을 10진법이라고 해요. 즉, 열 번째에는 자리가 바뀌는 수가 와요. 그런데, 시계에서는 10번째에 바뀌는 것이 아니라, 60번째가 되었을 바뀌거나 24번째가 되어야 바뀌죠. 그리고 더욱이 시계에는 60이나 24의 숫자가 표시되기보다는 대부분의 시계가 1부터 12까지만 표기되어 있어요. 참, 이상하죠. 그것은 너무 오래전부터 그렇게 해오고 있기 때문에 정확하게는 알 수 없지만 해와 달이 12번 작아졌다 커졌다 하면 1년이 되었다는 것에서 유래되지 않았나하고 생각하고 있어요. 그래서 최초의 시계로 알려지고 있는 그노몬(gnomon)시계는 아래 그림과 같이 하나의 원에 동서남북에 각각 같은 크기의 원을 서로 원의 중심을 지나게 그리고 만나는 점에 숫자를 써서 시계를 만들었어요.










이렇게 하면 원에는 12개의 숫자가 적히지요. 이렇게 한 후에 숫자가 적힌 원의 가운데에 막대를 세워 해의 움직임에 따라 그림자가 돌아가는 것을 통해 시간을 알아보았어요. 1시간이 60분이고 1분이 60초인 이유는 수학의 역사와 관련이 깊은데, 기원전 수학이 많이 발달한 곳 중에 한 곳인 바빌로니아에서는 달력을 만들어서 편하게 사용하였다는 기록이 있어요. 바빌로니아는 60진법을 사용하였기 때문에 그 영향으로 오늘날에도 60초가 되어야 1분이 되고 60분이 되어야 1시간이 되지요.




우리가 현재 쓰고 있는 십진법으로 시계를 안 만들었을까요?
우리가 흔히 사용하고 있는 십진법으로 시간을 나타내는 것을 통일하면 계산도 편리하고 이해하기도 쉬운데 왜 안했을까요? 사실, 서양에서 십진법으로 도량형이 통일이 되던 시기는 프랑스 혁명기였어요. 프랑스 혁명 정부가 그 동안 사용하던 것을 오늘말의 미터법으로 통일하면서 시간까지 10을 기준으로 바꾸려고 했어요. 하루는 24시간, 1시간은 60분, 1분은 60초와 같이 불규칙한 단위를 가진 시간을 10을 단위로 바꾸어 버린 것이죠 그래서 그 당시에는 하루가 10시간으로 이루어지며, 시침이 한 바퀴 돌면 하루가 되어서 시침이 10에 있을 때가 자정이고, 시침이 5에 있을 때가 정오이죠. 그리고 1시간은 100분으로 이루어지며, 1분은 100초로 이루어졌죠. 이걸 현재의 시간과 비교해서 계산하면 1일=24시간=24×60분=24×60×60초=86400초 인데 프랑스 혁명기의 시간에서는 1일=10시간=10×100분 =10×100×100초=100000초가 되어서 86400초=100000초 이므로 1초가 1.157초가 되었죠. 이 방식을 1793년 도입하고 1794년부터 공식적으로 사용되기 시작하였지만 1795년에 사용하지 않았죠. 시간에 10진법을 사용하려는 생각은 끝나지 않고 1897년 수학자 푸앵카레를 대표로 하는 위원회에서 하루 24시간은 그대로 둔 채, 1시간을 100분, 1분을 100초로 정하는 계획으로 부활했으나 역시 대부분의 사람들이 너무 불편하다는 지적에 1900년에 폐기되었어요. 시간은 우리의 생활에 너무 익숙한 것이죠. 그런 익숙한 것을 하루 아침에 바꾸려고 하면 사람들은 혼란스러워지고 익숙한 것을 쓰려고 하기 때문에 쉽게 바꿀 수 없어요. 예로 우리나라도 집의 넓이를 평으로 쓰다가 얼마 전부터 ㎡로 바꿨지만 아직도 많은 사람들이 평으로 말을 하면 대략적인 넓이를 더 쉽게 이해하죠. 그런 약속을 바꾸는 데에는 많은 시간이 필요해요. 특히, 시간같은 전 세계가 통일된 것을 바꾸려면 전 세계가 같은 약속을 해야하니까 더욱 어렵죠.




시계 속의 시침과 분침의 속력과 각도
시계속에서 시침과 분침이 움직이는 속력에 대해서 알아본다는 것은 어쩌면 웃긴 이야기일지도 몰라요. 왜냐하면 시침은 1시간 동안 1칸 가고, 분침은 1분 동안 한 칸 가니까요. 하지만 여기서 시침의 한 칸은 얼마인지를 알아보려면 기준이 있어야 하는데 이 때 시계가 한 바퀴 돈다는 것을 이용해서 한 바퀴는 360°라는 각도를 이용하는 거예요. 그래서 12시간이 지나야 시침이 한 바퀴 도니까. 1시간=360÷12=30°가 되고 분침은 60분이 되면 한 바퀴를 도니까. 360÷60=6°가 되지요. 즉, 시침은 1시간에 30°를 가고 분침은 1분에 6°를 가지요. 그런데 여기서 혹시 시침이 더 각도가 크니까 더 빠르다고 생각하면 안되죠. 왜냐하면 기준시간이 다르니까요. 그것을 같게 하려면 시침이 1시간에 30°를 가니까. 1시간=60분이니까. 60분에 30°를 간다고 할 수 있죠. 그러므로 30÷60=0.5°가 나오죠. 즉, 시침은 1분에 0.5°가는 것이고 분침은 1분에 6°를 가는 것이니까. 분침이 시침보다 12배(6÷0.5=12)나 빨리 가는 것을 알 수 있죠. 초침은 어떨까요. 초침은 1분에 360°를 도니까. 1초에 6°를 돌고 있죠.









시계가 돌아가는 원리
시계가 돌아가는 원리는 크게 기계식이 있고 전자식이 있어요. 기계식은 태엽이나 건전지를 이용해서 톱니바퀴를 돌려 시침과 분침을 돌리는 것이지요. 이때, 톱니의 수의 비례를 이용해서 분침이 한 바퀴 돌 때 시침이 한 칸을 움직이게 하지요. 예를 들어 분침의 톱니바퀴가 10개가 있고 시침의 톱니가 30개, 6개, 24개 있을 때, 분침이 한 바퀴 돌면 10개의 톱니를 지나가고 이때 맞물려 있는 톱니 30개 짜리가 시침의 톱니의 1/3이 돌고, 그 때 6개짜리의 톱니도 1/3인 2칸을 이동해요. 그러면 이 때 맞물려 있는 24개 짜리 톱니가 2칸 이동하게 되지요. 그러므로 톱니 10개인 분침이 12번 회전하면 톱니 24개인 시침이 12×2=24가 되어 한 바퀴를 돌게 되지요. 이처럼 기계식 시계에서는 톱니 수의 비례 관계를 통해 시계가 움직이고 있어요.





전자시계는 크리스탈(crystal)이라고 불리는 수정을 이용한 수정진동자와 전자회로를 이용하는데 약간의 전류를 흘리면 수정진동자는 1초에 3만 3768회 진동하는데, 이것을 전자회로로 세어 숫자판에 표시하거나 초침을 움직이는 원리예요.




시계 속에도 수학이 있죠?
이번에는 우리가 흔히 주위에서 볼 수 있는 시계 속에서 수학을 찾아 보았어요. 이렇게 우리 주변에 흔히 볼 수 있는 것에서 우리는 많은 흥미로운 수학을 찾을 수 있어요. 앞으로도 선생님과 생활속에서나 다른 과목에서 수학을 찾아 보도록 해요.




*오늘의 중요 용어정리*
[비례] 비례는 한쪽의 양이나 수가 증가하는 만큼 그와 관련 있는 다른 쪽의 양이나 수도 증가하는 것을 말해요. 3개의 톱니가 있는 바퀴와 4개의 톱니가 있는 바퀴가 있다면 3개의 톱니가 있는 바퀴가 4바퀴 돌면 톱니는 모두 12개를 지나죠. 그 때 4개의 톱니가 있는 바퀴는 3바퀴를 돌아야 12개의 톱니를 지나게 되겠죠. 이렇게 한 쪽의 수가 증가할 때 다른 쪽의 수도 증가하는 것을 비례관계라고 해요.




*더 찾아보아요.*
☆ 책으로 찾아보아요. - 세상의 모든 지식 - 김흥식 지음




*한걸음 더!*
☆ 시계에서 시침과 분침은 속력차이가 나니까 분침이 시침을 지나가는 것으로 보여지죠. 그렇다면 낮 12시에 밤 12시까지 분침은 시침을 몇 번이나 지나갈까요? ☆ 기계식 시계에서 톱니의 수를 다르게 해서 비례를 찾아보세요.




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