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사각형, 오각형 바퀴도 있다?


바퀴는 원래 원 모양이다. 평평한 도로 위를 달릴 때, 바퀴의 중심과 땅 사이의 거리가 항상 같게 유지되기 때문이다. 그래야 덜컹거리지 않고 안전하게 운반할 수 있다.

그런데 평평한 도로를 무난히 달리는 오각형 바퀴가 있다. 원과 달리 꼭짓점이 존재하는 오각형 바퀴가 어떻게 구를 수 있을까.

도형이 접하는 두 평행선 사이의 거리가 일정하다면 삼각형 바퀴도, 오각형 바퀴도 가능하다. 이를 ‘정폭도형’이라고 한다. 정폭도형으로 만든 바퀴는 바닥을 구를 때 그 도형의 높이가 변하지 않고 일정해 무난히 주행할 수 있다. 다만 중심의 높이는 움직일 수 있어 바퀴 중심의 위치를 정확히 계산해 결정해야 한다. 정폭도형에는 원은 물론 뢸로 삼각형, 뢸로 오각형 등 뢸로 다각형이 포함된다.










울퉁불퉁한 비포장도로에서는 둥근 바퀴의 주행이 불편하다. 도로 위를 달리는 둥근 바퀴의 중심이 위아래로 흔들리기 때문이다. 이런 도로에서는 다각형 바퀴가 달리기에 알맞다. 다각형 바퀴가 잘 달릴 수 있는 이런 볼록한 도로를 수학에서는 ‘현수선 도로’라고 부른다. ‘현수선’이라는 특별한 곡선을 따라 그려지기 때문이다.

현수선을 본격적으로 연구한 사람은 이탈리아의 수학자 갈릴레오 갈릴레이다. 갈릴레이는 중력을 받는 사슬 모양인 현수선이 y²=Ax와 같은 포물선의 방정식을 따른다고 주장했지만, 이 주장은 머지않아 독일의 수학자 요아힘 융기우스에 의해 틀렸음이 증명됐다.

정n각형 바퀴가 잘 구를 수 있는 현수선 도로는 다음과 같은 현수선 방정식으로 그릴 수 있다. 현수선 방정식은 y=-B×cosh(x/B)이다. 이 때 B는 C×cot(π/n)(단, C는 상수)다.

이밖에 수학동아 3월호 특집 기사에서는 현수선 도로를 직접 그려보는 방법을 소개하고, 자동차 바퀴살이 홀수인 이유와 공기 없는 바퀴 등 바퀴에 담긴 재미있는 수학 내용을 만날 수 있다.

 

 



염지현 기자 ginny@donga.com



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